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在 PyTorch 中，可以使用 torch.svd 来实现 SVD 分解，从而计算两个点云之间的变换矩阵 R_{XY}RXY​ 和平移向量 t_{XY}tXY​。以下是完整的实现步骤和代码示例：

pytorch学习：矩阵分解：奇异值分解（SVD分解）_pytorch svd-CSDN博客

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实现步骤

1. 计算点云中心：

   • 计算两个点云 XX 和 YY 的中心点 \bar{x}xˉ 和 \bar{y}yˉ​。

2. 计算互协方差矩阵 HH：

   • 通过公式 H = \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})^TH=∑i=1N​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)T 计算互协方差矩阵。

3. SVD 分解：

   • 对互协方差矩阵 HH 进行 SVD 分解，得到 UU, SS, VV。

4. 计算变换矩阵 R_{XY}RXY​ 和平移向量 t_{XY}tXY​：

   • 变换矩阵 R_{XY} = VU^TRXY​=VUT。

   • 平移向量 t_{XY} = -R_{XY} \bar{x} + \bar{y}tXY​=−RXY​xˉ+yˉ​。

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代码实现

import torchdef compute_transformation(X, Y):"""计算从点云 X 到点云 Y 的变换矩阵 R 和平移向量 t:param X: 点云 X, 形状为 (N, 3):param Y: 点云 Y, 形状为 (N, 3):return: 变换矩阵 R (3, 3) 和平移向量 t (3,)"""# 确保输入是 torch.Tensorif not isinstance(X, torch.Tensor):X = torch.tensor(X, dtype=torch.float32)if not isinstance(Y, torch.Tensor):Y = torch.tensor(Y, dtype=torch.float32)# 计算点云中心x_center = X.mean(dim=0)  # (3,)y_center = Y.mean(dim=0)  # (3,)# 计算互协方差矩阵 HH = torch.zeros(3, 3)  # (3, 3)for i in range(X.shape[0]):H += torch.outer(X[i] - x_center, Y[i] - y_center)# SVD 分解U, S, V = torch.svd(H)# 计算变换矩阵 R 和平移向量 tR = V @ U.T  # (3, 3)t = -R @ x_center + y_center  # (3,)return R, t# 示例数据
X = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], dtype=torch.float32)  # (3, 3)
Y = torch.tensor([[2, 3, 4], [5, 6, 7], [8, 9, 10]], dtype=torch.float32)  # (3, 3)# 计算变换矩阵和平移向量
R, t = compute_transformation(X, Y)print("变换矩阵 R:")
print(R)
print("平移向量 t:")
print(t)

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代码说明

1. 输入数据：

   • X 和 Y 是两个点云，形状为 (N, 3)，其中 N 是点数，3 是每个点的坐标维度（x, y, z）。

2. 点云中心：

   • 使用 torch.mean 计算点云的中心点。

3. 互协方差矩阵：

   • 使用 torch.outer 计算每个点对的贡献，并累加得到互协方差矩阵 HH。

4. SVD 分解：

   • 使用 torch.svd 对 HH 进行分解，得到 UU, SS, VV。

5. 变换矩阵和平移向量：

   • 根据公式计算 R_{XY}RXY​ 和 t_{XY}tXY​。

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示例输出

对于示例数据，输出可能如下：

变换矩阵 R:
tensor([[1., 0., 0.],[0., 1., 0.],[0., 0., 1.]])
平移向量 t:
tensor([1., 1., 1.])

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注意事项

1. 点云匹配：

   • 上述代码假设点云 XX 和 YY 已经匹配，即 X[i]X[i] 和 Y[i]Y[i] 是对应的点对。

   • 如果点云未匹配，需要先使用 ICP（Iterative Closest Point）或其他方法进行匹配。

2. SVD 的数值稳定性：

   • 如果互协方差矩阵 HH 是奇异的（例如点云共面），SVD 分解可能不稳定。可以通过添加正则化项或检查奇异值来处理。

3. GPU 支持：

   • 如果使用 GPU，可以将输入数据移动到 GPU 上：

     X = X.to("cuda")
     Y = Y.to("cuda")