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大 O 表示法（Big-O Notation）

大 O 表示法是一种用于描述算法复杂性的数学符号，主要用于衡量算法的效率，特别是随着输入规模增大时算法的运行时间或占用空间的增长趋势。

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基本概念

1. 时间复杂度

   • 描述算法所需的运行时间如何随输入数据规模 n 增大而增长。
   • 表示形式：如 , , , 。

2. 空间复杂度

   • 描述算法所需的内存空间如何随输入数据规模 n 增大而增长。
   • 表示形式：与时间复杂度类似，常见为 , 等。

3. 渐进性描述

   • 大 O 表示法不关注常数因子，只关注随着输入规模无限增长时的增长趋势。例如，若运行时间为 ，其渐进复杂度为 。

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常见的时间复杂度

以下列举了一些常见的时间复杂度，从快到慢排序：

1. 常数时间

   • 算法的运行时间与输入规模无关。
   • 示例：数组索引访问、变量赋值。

   def constant_example(arr):return arr[0]  # 只访问一次，无论数组多大
   

    

2. 对数时间

   • 每次操作将问题规模缩小（如二分查找）。
   • 示例：二分查找。

   def binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return -1
   

    

3. 线性时间

   • 算法需要逐个处理输入的每个元素。
   • 示例：线性搜索。

   def linear_search(arr, target):for i, val in enumerate(arr):if val == target:return ireturn -1
   

    

4. 线性对数时间

   • 通常出现在排序算法（如归并排序、快速排序）。

   def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result.extend(left[i:])result.extend(right[j:])return result
   

    

5. 平方时间

   • 通常出现在嵌套循环中（如冒泡排序）。
   • 示例：冒泡排序。

   def bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):for j in range(0, n-i-1):if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
   

    

6. 指数时间

   • 通常出现在递归问题中（如穷举所有子集）。
   • 示例：斐波那契数列递归计算。

   def fibonacci_recursive(n):if n <= 1:return nreturn fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)
   

    

7. 阶乘时间

   • 通常出现在全排列问题中，增长极快。
   • 示例：旅行商问题暴力求解。

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大 O 表示法的特性

1. 忽略低阶项

   • 复杂度表示只关注增长最快的项。例如，若 ，则复杂度为 。

2. 忽略常数因子

   • 只关注输入规模的增长趋势。例如，若 ，则复杂度为 ，忽略常数 5。

3. 渐进上界

   • 大 O 表示的是最坏情况下的增长速度，是算法复杂度的上界。

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常见的空间复杂度

1. ：常数空间

   • 算法只使用固定数量的额外空间（如简单变量）。

2. ：线性空间

   • 算法需要额外的内存来存储与输入规模相等的数据量（如递归调用栈或结果数组）。

3. ：平方空间

   • 通常在动态规划表中出现，例如计算最长公共子序列。

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优化算法复杂度的思路

1. 降低循环嵌套层数

   • 优化嵌套循环，减少重复计算。

2. 利用分治法

   • 将问题分解为更小的子问题，例如归并排序。

3. 使用高效数据结构

   • 选择合适的数据结构（如哈希表替代数组查找）。

4. 动态规划

   • 通过记录中间结果避免重复计算。

5. 启发式算法

   • 在复杂问题中，使用启发式方法找到近似解而不是穷举。

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总结

大 O 表示法是描述算法性能的重要工具，帮助开发者选择和优化算法。理解常见的时间和空间复杂度，并结合问题特性选择适当的算法和数据结构，是提升算法效率的关键。