目录
- Integration
- int方法
- trapz 和 cumtrapz
- quad
- 数值二重积分
Integration
- 符号积分
- 数值积分
- trapz
- quad, quadl, quadv
- 数值二重积分
- dblquad
int方法
- 定义
- int 被称为符号积分法，结果都是准确值
- int(f, x)
- 用法
>> syms x
>> y1=1/(1+x^4);
>> fy1=int(y1)
fy1 =
2^(1/2)*atan(2^(1/2)*x*(1/2 - 1i/2))*(1/4 + 1i/4) + 2^(1/2)*atan(2^(1/2)*x*(1/2 + 1i/2))*(1/4 - 1i/4)>> y2=(x*exp(x))/(1+x)^2;
>> fy2=int(y2,0,1)
fy2 =
exp(1)/2 - 1>> y3=1/(x^2+2*x+3);
>> fy3=int(y3,-inf,+inf)
fy3 =
(pi*2^(1/2))/2
trapz 和 cumtrapz
- 定义：
- trapz 和 cumtrapz 函数都是基于梯形积分的函数，trapz 就是 Trapezoidal(梯形)。使用的方法就是“无限等分求和”。
- 将积分区间划分为一定数量的等间距的子区间，然后将每段子区间上的函数曲线用一段直线近似，该直线经过由小区间端点对应的原曲线上的两个端点。所以，从本质上讲，梯形积分只不过是一种 “分段线性近似”。
- 对于高次函数（次数>=2）时，梯形积分在划分区间数目一定的情况下可能会很变得不精确（尤其是当被积函数不连续或震荡性很大时），而且，在子区间数固定的情况下，被积函数次数越高，梯形积分精度就越差。
- 为了使得梯形积分变得更加精确，你需要用更小的间隔来划分更多的子区间，即用更多的子区间来近似。
- cumtrapz函数和trapz函数使用方法类似，但是返回的结果不一样。前面的cum是cumulation的意思，也就是累积，相当于是不断地从第一个值累积到当前的结果。
- 用法举例
% trapz 用法
>> x=0:0.05:1;
>> y=x.^3-2.*x-3;
>>I=trapz(x,y)
I =-3.7494% cumtrapz 用法
>> x=0:0.1:1;
>> y=x.^3-2.*x-3;
>> Z=cumtrapz(x,y)
Z =0 -0.3100 -0.6395 -0.9878 -1.3532 -1.7337 -2.1267 -2.5287 -2.9360 -3.3440 -3.7475
quad
- 定义：
- MATLAB提供的quad()函数是基于自适应辛普森法设计的，
- 该函数的调用格式为：
[q,fcnt] = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,...)- fun是被积函数，可以是字符表达式、内联函数、匿名函数和M函数；
- a,b是定积分的上限和下限；
- tol为指定的误差限，缺省值：1e-6；
- trace提供中间输出 [fcnt a b-a q] ，若trace=0，则quad不提供中间输出；非0则展现输出
- p1,p2,...是函数fun的附加参数。
- q是返回的数值积分；fcnt返回函数评估的次数。
- 另外，MATLAB还提供了一个新的函数quadl()，也称为 高精度Lobatto积分法 。其调用格式与quad()函数完全一致，使用的算法是自适应Lobatto算法，其精度和速度均远高于quad()函数，所以在追求高精度数值解时建议使用该函数。
- 自适应Gauss-Kronrod数值积分。
z = quadgk(Fun,a,b) - 积分法矢量化自适应simpson数值积分。
z = quadv(Fun,a,b)。这个函数的优点在于同时计算多个积分。
- 用法
>>F = @(x)1./(x.^3 - 2.*x -5)
F =function_handle with value:@(x)1./(x.^3-2.*x-5)>>quad(F, 0, 2)
ans =-0.4605% quadv 方法
>> F = @(x,n)1./((1:n) + x.^2)
F =function_handle with value:@(x,n)1./((1:n)+x.^2)
>> quadv(@(x)F(x,6), 0, 1)
ans =0.7854 0.4352 0.3023 0.2318 0.1881 0.1582
数值二重积分
- 定义:
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)，求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重积分。 - 用法举例
>> f = @(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2 + y)
f =function_handle with value:@(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)
>> dblquad(f, -2, 2, -1, 1)
ans =1.5745