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如何进行数学家式的学习思考？

学生阶段的数学学习是非常重要的，对这一点很少有人质疑。一提起数学学习，一些学生、家长甚至一些教师认为，学生的数学学习往往侧重于掌握基本概念、公式和解题技巧，通过做题来巩固知识和提高解题能力，数学学习似乎就是“做题”。这种观点在某种程度上是正确的，它帮助学生巩固知识，提高解题技能，培养逻辑思维能力，特别是在基础阶段，大量的练习是必要的。但这种观点和观念是不全面的有其局限性，数学在现实生活中的许多应用需要学生具备对情境的理解和对方法的灵活运用，理论与实践结合，特别是方向是研究时，通常不能仅通过大量做题来培养，真正有效的数学学习远不止于此，真正的数学工作更关注于理解概念的本质，培养数学思维，发展创造力，提出新的问题、建立新的理论，以及将数学应用到各种实际问题中，像数学家那样思考。实际上，这些能力对于未来可能从事的任何工作都很重要，不仅仅是对那些想成为数学家的人。普通人也可以将数学应用到日常生活中，解决现实中的开放性问题。

超越“做题”的数学学习

1.理解概念本质

    探讨概念的起源和发展。

    理解概念间的联系。

2.培养数学思维

    多角度思考问题。

    发展抽象和推理能力。

3.应用数学知识

    解决实际生活中的问题。

    探索数学与其他学科的联系。

4.培养创造力

    善于提出新问题。

    尝试创新的解决方法。

5.保持持久的好奇心与耐心

    保持对数学的热爱和兴趣，不断探索解决问题。

    面对难题时，保持耐心，不轻易放弃，逐步寻找解决方案。

6.欣赏数学之美

    了解数学史和数学家故事，了解他们的思维方式。

    探索数学中的模式和结构之美。

进一步，可以学习尝试数学家式的思考。

像数学家那样思考意味着培养一种特定的思维方式，这种思维方式强调逻辑性、抽象性、创造性和严谨性。

下面给出几个简单的例子。

1、如何不爬树就能测量树的高度？

将几何学中的相似三角形性质应用到实际生活中。依据比例关系建立用杆和影子创建了一个树和影子的模型：

树高 : 树影子 = 杆高 : 杆影子

树的高度 = (杆高 × 树的影子长度) ÷ 杆影子长度

用尺子测量树的影子长度，比如说是 15 米

测量杆高，比如 1.7 米

测量杆的长度，比如 2 米

树的高度 = (1.7 × 15) ÷ 2 = 12.75 米

这个方法展示了几个重要的数学思维特点：

应用数学知识解决实际问题：这里我们将几何学中的相似三角形概念应用到实际生活中。

比例思维：整个测量过程基于比例关系，这是数学中的一个重要概念。

问题分解：我们将“测量树的高度”这个复杂问题分解成几个简单的步骤。

创造性思考：利用影子来间接测量高度是一种创造性的方法。

模型化：我们在此本质用杆和影子创建了一个树和影子的“模型”。

2、德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在幼年时提出的一个著名的求和技巧，求从 1 到 n 的自然数之和。

高斯求从1到n的自然数之和是一个著名的数学故事，展示了创造性思维的重要性。

对于任意正整数n，从 1 到n的求和公式可以表示为：

高斯在大约 7 岁时发现了这个公式，高斯注意到一个巧妙的模式：

将数列写两遍，一个正序，一个倒序：

S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n

S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1

将这两个等式相加：

2S = (1+n) + (2+(n-1)) + (3+(n-2)) + ... + ((n-1)+2) + (n+1)

观察到每一对括号内的和都是(n+1)，共有n对：

2S = n(n+1)

因此，原和S为：

S = n(n+1) / 2

这个方法展示了高斯卓越的数学思维：

模式识别：高斯发现了数列中的对称性。

创造性思考：他想到了将同一个和写两遍并相加的创新方法。

抽象概括：从具体数字中抽象出一般性的公式。

效率提升：将O(n)的问题转化为O(1)的计算。

【注：O(n)表示算法的运行时间与输入规模n成线性关系；O(1)表示算法的运行时间是常数，与输入规模无关。

在1到n的求和问题中：

O(n)解法：逐个加数字，需要n次加法操作；O(1)解法：使用高斯公式 n(n+1)/2，只需要一次乘法和一次除法。】

这个例子很好地说明了“像数学家那样思考”的几个关键点：观察模式、创造性解决问题、寻找更高效的方法，以及从具体到抽象的思维过程。

3、翻三番是原来的多少倍？

翻番在数学运算中表现为一个数乘以2的某个次方。

这个过程可以表示为：1 × 2³ = 8

翻三番后，最终结果是原来的 8 倍。

现在让我们用数学家的思维方式更深入地分析这个问题：

模式识别：我们可以看到，每次翻倍都是将前一个数乘以2。这是一个几何级数的模式。

指数思维：连续三次翻倍可以表示为2的3次方（2³），这引入了指数的概念。

代数表达：我们可以用代数式概括这个过程：原始值 × 2³ = 原始值 × 8

一般化：如果我们想知道翻“n番”是多少倍，可以表示为 。

翻n番等于原数乘以2的n次方。即，如果原数为A，翻n番后的数为A×

注意翻番与翻倍的区别：翻n番是原数乘以2的n次方，而翻n倍则是原数加上n倍的原数（即A×(1+n)）。因此，在理解和应用这两个概念时需要注意区分。

4.将数学应用到日常生活中是一个很好的方式来培养数学思维，同时也能让我们更好地理解数学的实际价值。例如，购物决策中的折扣计算：
    面对"买二送一"等促销活动，你可以计算实际折扣率：
    折扣率 = (赠送的价值) / (总价值) = 1/3 ≈ 33.33%
这有助于比较不同的促销活动，培养你的比例思维和批判性思考能力。

日常生活中存在许多开放性问题可以应用数学知识来解决。这些问题通常没有标准答案，但可以通过数学思维和方法来分析和优化。例如，健康饮食计划，制定一个既满足营养需求又符合个人口味的饮食计划：

    列出各种食物的营养成分和卡路里，按自定规则进行食谱配置，寻找有关资料进行卡路里计算，估算和平衡每日摄入量

    考虑个人的营养需求和口味偏好

    使用线性规划来制定满足所有条件的食谱或使用加权平均或其他决策方法来选择最优方案。

虽然学生阶段主要是学习已知的数学知识，但可以通过一些方式培养创造性思维，比如尝试用多种方法解决同一个问题，或者思考问题的变体。注重思维方式的培养和问题意识的培养，逐渐完成从“如何解题”到“为什么是这样”这种思维方式的转变。

数学家式的思考是一种独特而强大的思维方式，它不仅适用于数学领域，也可以应用到生活和工作的许多方面。让我们深入探讨如何培养这种思维方式。以下是一些建议，帮助你培养数学家的学习与思考方式要点（必要而非全部）：

1. 深入理解基本概念：不要仅仅记忆公式和定理，尝试理解其背后的原理和推导过程。问自己“为什么”而不仅是“是什么”。
2. 培养逻辑思维能力：数学是一门高度逻辑性的学科，练习推理、证明和反证等逻辑技巧，以增强思维的严密性。不仅仅满足于结果，更要关注过程。
3. 多做练习和思考：通过解决各种类型的问题，加深对知识的掌握。遇到难题时，不妨尝试不同的方法和角度。在学习新的数学知识后，尝试将其应用到实际生活中解决问题。
4. 学习抽象思维：数学家善于从具体问题中抽象出一般规律，培养抽象概括的能力，有助于理解更高级的数学概念。在日常生活中也可以尝试归纳总结，找出事物的本质特征。学习使用数学语言和符号系统，提高抽象表达的能力。从具体到抽象，培养观察和识别模式的能力，尝试寻找隐藏的模式或规律，有助于发现规律、提出猜想。
5. 创造性思维：尝试从多个角度看待问题，大胆猜测和想象可能的解法，进行实验和验证。数学家有时会基于直觉或经验做出大胆的猜测（猜想），然后再通过严格的证明来验证这些猜测是否正确。在确立了初步的想法或猜想，数学家会花费大量时间进行严格的证明，他们会检查每一个细节，确保没有遗漏任何可能的情况。
6. 系统化思维：将复杂问题分解成小步骤，逐一解决。这种方法有助于处理复杂的数学问题，也适用于其他领域。
7. 阅读数学文献，参与讨论和交流：阅读教科书、学术论文和数学家的著作，了解他们的思维方式和研究方法，吸取经验。与他人讨论数学问题，可以获得不同的视角和思路，深化对问题的理解。
8. 保持好奇心和求知欲：对未知的问题保持兴趣，积极探索新的领域，勇于提出问题并寻找答案。持续探索新的领域与主题。
9. 培养耐心和毅力：数学问题往往需要长时间的思考和尝试，需要耐心和毅力，不要因为一时的困难而放弃。接受失败并从中学习，错误和失败是学习过程的一部分，从中汲取教训，可以促使你更深入地理解问题。在学习过程中，定期反思自己的思路和方法，总结经验教训，以不断提高。