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news 2025/9/18 10:00:51

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✏️✏️✏️今天给大家分享一下二叉树的基本概念以及性质、二叉树的自定义实现，二叉树的遍历等。

清风的CSDN博客

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好，废话不多说，我们直接进入正题！！！

一、树形结构

1.1 概念

1.2 关于树的一些概念术语

1.3 树的表示形式

1.4 树的应用

二、二叉树

2.1 概念

2.2 两种特殊的二叉树

2.3 二叉树的重要性质

2.4 二叉树的存储

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的类定义

2.5.2 二叉树的创建

2.5.3 二叉树的前序遍历

2.5.4 二叉树的中序遍历

2.5.5 二叉树的后序遍历

2.5.6 获取树中节点个数

2.5.7 获取叶子节点个数

2.5.8 获取第K层节点个数

2.5.9 获取二叉树的高度

2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点

一、树形结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 关于树的一些概念术语

结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图： A 的度为 6

树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为 6

叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： B 是 A 的孩子结点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法、 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

了解了上面的基础知识，那我们就来看一下二叉树到底是什么！

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树 : 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为 K ，且结点总数是 $^{_{}}$ 2^k -1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的重要性质

1. 若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为 1 ，则深度为 K的二叉树的最大结点数是 $2^{k}$ -1(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k为 $\log_{2}(n+1)$ 向上取整

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的类定义

public class BinaryTree {static public class TreeNode{public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val){this.val=val;}}
}

2.5.2 二叉树的创建

二叉树是递归定义的，因此可以通过递归来创建一颗二叉树，也可以通过穷举法来创建。我们先通过穷举法来创建，后续我会给大家分享递归创建二叉树。

   public TreeNode CreatBinaryTree(){TreeNode A=new TreeNode('A');TreeNode B=new TreeNode('B');TreeNode C=new TreeNode('C');TreeNode D=new TreeNode('D');TreeNode E=new TreeNode('E');TreeNode F=new TreeNode('F');TreeNode G=new TreeNode('G');TreeNode H=new TreeNode('H');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;C.left=F;C.right=G;D.left=H;return A;}

通过上面的穷举法，我们就创建了下面这样一棵二叉树:

2.5.3 二叉树的前序遍历

递归遍历：

    public void preOrder(TreeNode root){if(root==null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}

非递归遍历：

    public void preOrderNor(TreeNode root){Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();TreeNode cur=root;while(cur!=null || !stack.empty()){while(cur!=null){System.out.print(cur.val+" ");stack.push(cur);cur=cur.left;}TreeNode top = stack.pop();cur=top.right;}}

2.5.4 二叉树的中序遍历

递归遍历：

    public void inOrder(TreeNode root){if(root==null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}

非递归遍历：

    public void inOrderNor(TreeNode root){Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();TreeNode cur=root;while(cur!=null || !stack.empty()){while(cur!=null){stack.push(cur);cur=cur.left;}TreeNode top=stack.pop();System.out.print(top.val+" ");cur=top.right;}}

2.5.5 二叉树的后序遍历

递归遍历：

    public void postOrder(TreeNode root){if(root==null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}

非递归遍历：

    public void postOrderNor(TreeNode root){Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();TreeNode cur=root;TreeNode prev=null;while(cur!=null || !stack.empty()){while(cur!=null){stack.push(cur);cur=cur.left;}TreeNode top=stack.peek();if(top.right==null || top.right==prev){System.out.print(top.val+" ");stack.pop();prev=top;//记录最新被打印的节点}else{cur=top.right;}}}

2.5.6 获取树中节点个数

    public int size(TreeNode root){if(root==null){return 0;}return size(root.left)+size(root.right)+1;}

2.5.7 获取叶子节点个数

    public int getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root==null){return 0;}if(root.left==null && root.right==null){return 1;}return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);}

2.5.8 获取第K层节点个数

    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if(root==null){return 0;}if(k==1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

2.5.9 获取二叉树的高度

    public int getHeight(TreeNode root){if(root==null){return 0;}/*   if(root.left==null && root.right==null){return 1;}*/int leftHeight=getHeight(root.left);int rightHeight=getHeight(root.right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;}

2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点

    TreeNode find(TreeNode root, char val){if(root==null){return null;}if(root.val==val){return root;}TreeNode ret1=find(root.left,val);if(ret1!=null){return ret1;}TreeNode ret2=find(root.right,val);if(ret2!=null){return ret2;}return null;}