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news 2025/11/6 4:24:38

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激活函数（Activation Functions）

激活函数是神经网络的重要组成部分，它的作用是将神经元的输入信号映射到输出信号，同时引入非线性特性，使神经网络能够处理复杂问题。以下是常见激活函数的种类、公式、图形特点及其应用场景。

1. 常见激活函数及其公式与代码示例

1. Sigmoid 激活函数

公式：

$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

特点：

输出范围为 (0, 1)。
对输入较大的值趋于 1，较小的值趋于 0。
常用于神经网络输出层处理二分类问题。
优点：
- 将输入映射为概率值，直观且常用于概率任务。
缺点：
- 梯度消失：输入很大或很小时，梯度趋近 0，导致反向传播时权重更新变慢。
- 输出不以 0 为中心，不利于零均值数据。

代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# 示例
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = sigmoid(x)plt.plot(x, y)
plt.title("Sigmoid Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("sigmoid(x)")
plt.grid()
plt.show()

运行结果：

2. Tanh（双曲正切）激活函数

公式：

$\text{Tanh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

特点：

输出范围为 (-1, 1)。
优点：
- 比 Sigmoid 更对称，输出以 0 为中心，更适合零均值数据。
缺点：
- 梯度消失问题依然存在。

代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def tanh(x):return np.tanh(x)x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = tanh(x)plt.plot(x, y)
plt.title("Tanh Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("tanh(x)")
plt.grid()
plt.show()

运行结果：

3. ReLU（Rectified Linear Unit）激活函数

公式：

f(x) = max(0, x)

特点：

输出范围为 [0, +∞)。
优点：
- 简单高效，计算速度快。
- 解决了梯度消失问题，几乎是所有深度学习模型的默认选择。
缺点：
- “死亡神经元”：当输入总是小于 0 时，梯度为 0，神经元可能永远不会被激活。

代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef relu(x):return np.maximum(0, x)x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = relu(x)plt.plot(x, y)
plt.title("ReLU Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("ReLU(x)")
plt.grid()
plt.show()

运行结果：

4. Leaky ReLU 激活函数

公式：

$f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x > 0 \\ \alpha x & \text{if } x \leq 0 \end{cases}$

其中，α 是一个小于 1 的常数，通常取 0.01。

特点：

优点：
- 解决 ReLU 的“死亡神经元”问题。
- 在负数输入上具有小的线性斜率。
缺点：
- 引入了超参数 α，需手动调节。

代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def leaky_relu(x, alpha=0.01):return np.where(x > 0, x, alpha * x)x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = leaky_relu(x)plt.plot(x, y)
plt.title("Leaky ReLU Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Leaky ReLU(x)")
plt.grid()
plt.show()

运行结果：

5. ELU（Exponential Linear Unit）激活函数

公式：

$f(x) = \begin{cases} x & \text{if } x > 0 \\ \alpha (e^x - 1) & \text{if } x \leq 0 \end{cases}$

其中，α 通常取 1。

特点：

优点：
- 负数部分平滑处理，有助于减少梯度消失问题，训练更稳定。
- 能加速模型收敛。
缺点：
- 计算复杂度稍高。

代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def elu(x, alpha=1.0):return np.where(x > 0, x, alpha * (np.exp(x) - 1))x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = elu(x)plt.plot(x, y)
plt.title("ELU Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("ELU(x)")
plt.grid()
plt.show()

运行结果：

6. Softmax 激活函数

公式：

$\text{Softmax}(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^n e^{x_j}}$

特点：

将输入映射为概率分布，适用于多分类问题，常用于多分类问题的最后一层。
输出范围为 (0, 1)，且总和为 1。

代码示例：

import numpy as npdef softmax(x):exp_x = np.exp(x - np.max(x))  # 防止数值溢出return exp_x / np.sum(exp_x)# 示例
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 6.0])
y = softmax(x)print("Softmax Output:", y)
print("Sum of Softmax Output:", np.sum(y))  # 确保总和为 1

运行结果：

Softmax Output: [0.00626879 0.01704033 0.04632042 0.93037047]
Sum of Softmax Output: 1.0

7. Swish 激活函数

公式：

$f(x) = x \cdot \text{Sigmoid}(\beta x)$

其中，β 是可学习参数，通常默认为 1。

特点：

优点：
- 平滑可微，能捕获复杂特征。
- 在深度网络中比 ReLU 表现更优。

代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))
def swish(x, beta=1.0):return x * sigmoid(beta * x)x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = swish(x)plt.plot(x, y)
plt.title("Swish Activation Function")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Swish(x)")
plt.grid()
plt.show()

运行结果：

2. 激活函数的选择与应用

任务导向的选择：

分类问题:
- 二分类：Sigmoid 或 Softmax。
- 多分类：Softmax。
回归问题:
- 使用线性激活函数或无激活函数。
深度学习（卷积网络、RNN 等）:
- 通常采用 ReLU 及其变种（Leaky ReLU、ELU）。

层次结构的选择：

隐藏层:
- 一般使用 ReLU 或其变种。
输出层:
- 分类：Softmax 或 Sigmoid。
- 回归：线性激活函数。

3.激活函数对比总结

激活函数	输出范围	是否有梯度消失	是否有“死亡神经元”	常见应用场景
Sigmoid	(0, 1)	是	否	二分类输出
Tanh	(-1, 1)	是	否	RNN 或零均值数据
ReLU	[0, +∞)	否	是	深层网络的隐藏层
Leaky ReLU	(−∞, +∞)	否	否	深层网络
ELU	(−α, +∞)	否	否	深度网络
Softmax	(0, 1)	否	否	多分类输出层
Swish	(−∞, +∞)	否	否	深度网络或复杂任务