回归用来表示输入输出之间的关系。
用实际例子来解释一下线性回归：根据房屋的面积、房龄来估算房屋价格。为了实现这个预测放假的模型，需要收集一个真实的数据集，该数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。
在机器学习中，这个数据集称为训练集（training set），每行数据称为样本（sample）或数据点（data point），试图预测的目标称为标签（label）或目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）。
通常，我们使用n来表示数据集中的样本数。对索引为i的样本，其输入表示为：
$$x^{(i)}=[x_1^{(i)},x_2^{(i)}{]}^T$$
其对应的标签是：
$$y^{(i)}$$

线性模型

$$price=w_{area}\cdot area+w_{age}\cdot age+b$$
其中，w为权重，决定了每个特征对我们预测值的影响。b为偏置，指当所有特征取0时的预测值。
严格来说，上式是输入特征的一种仿射变换，其特点是通过加权和特征进行线性变换，并通过偏置项来进行平移。
而在机器学习中，通常使用高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含d个特征时，我们将预测结果表示为：
$$\hat{y}=w_1{x}_1+...+w_d{x}_d+b$$
将所有的特征放到向量x中，并将所有权重放到向量w中，可以用点积来简洁地表达模型：
$$\hat{y}=w^{T}x+b$$
显然，向量x只能对应于单个数据样本的特征。
用符号表示的矩阵X可以很方便地引用我们整个数据集的n个样本。其中，X的每一行是一个样本，每一列是一种特征。
对于特征集合X，预测值可以通过矩阵-向量乘法表示为：
$$\hat{y}=Xw+b$$
这个过程中的求和将使用广播机制，给定X和y，线性回归的目标就是找到一组权重向量w和偏置b：当给定从X的同分布中取样的新样本特征时，能使得新样本预测标签的误差尽可能小。
但即使确信特征与标签的潜在关系是线性的， 我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。
因此，在开始寻找最好的模型参数w和b之前，还需要两个东西：
（1）一种模型质量的度量方式
（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法

损失函数

损失函数能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常选择非负数作为损失，数值越小表示损失越小，完美预测的损失为0。
回归问题中最常用损失函数是平方误差函数：
$$l^{(i)}(w,b)=\frac{1}{2}({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2$$
常数1/2不会带来本质上的差别，但这样的形式会稍微简单一点（因为求导后常系数会变为1）。
由于平方误差函数中的二次方项，估计值和观测值之间较大的差异会导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们要计算在训练集n个样本上的损失均值（等价于求和）：
$$L(w,b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{l}^{(i)}(w,b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}(w^T{x}^{(i)}+b-y^{(i)}{)}^2$$
在训练模型时，希望寻找一组参数，这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。

解析解

线性回归是一个很简单的优化问题，线性回归的解可以用一个公式简单表达，这类解叫做解析解。
首先，将偏置b合并到参数w中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化：
$$||y-Xw|{|}^2$$
这在损失平面上只有一个临界点，对应于整个取余的损失极小点。将损失关于w的导数设为0，得到解析解：
$$w^{\ast }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$
但是解析解对问题限制太严格，不适合广泛应用于深度学习，接下来讲解随机梯度下降，几乎可以用来优化所有深度学习模型。