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逻辑回归（Logistic Regression）

逻辑回归是一种用于二分类（binary classification）问题的统计模型。尽管其名称中有“回归”二字，但逻辑回归实际上用于分类任务。它的核心思想是通过将线性回归的输出映射到一个概率值，以进行类别预测。

1. 模型概述

逻辑回归的基本公式为：

$$P(y=1|x)=\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

其中：

• ( $P(y=1|x$) ) 是给定特征 ( $x$ ) 时，因变量 ( $y$ ) 等于 1 的概率。
• ( $z={\beta }_0$ +${\beta }_1{x}_1$ + ${\beta }_2{x}_2$ + $\dots$ + ${\beta }_n{x}_n$ ) 是线性组合。
• ( $\sigma (z)$ ) 是 sigmoid 函数，将输出值映射到$0$到$1$之间。

2. Sigmoid 函数

Sigmoid 函数的形状如下：

$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

• 当 ( $z$ ) 为负时，函数输出接近于 $0$；当 ( $z$ ) 为正时，函数输出接近于 $1$。
• 这种特性使得 sigmoid 函数非常适合用于概率预测。

3. 损失函数

逻辑回归的损失函数为交叉熵损失（cross-entropy loss），用于衡量模型预测与实际标签之间的差异。其公式为：

$$L(\beta )=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N[y_i\log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\log (1-{\hat{y}}_i)]$$

其中：

• ( $N$ ) 是样本数量。
• ( $y_i$ ) 是实际标签。
• ( ${\hat{y}}_i$ ) 是预测概率。

逻辑回归的损失函数求解通常通过 最大似然估计 和 梯度下降 等优化算法进行。逻辑回归模型中常用的损失函数是 交叉熵损失，目标是通过最小化损失函数来找到最佳的模型参数。

1. 逻辑回归中的损失函数

（1）损失函数

逻辑回归的损失函数基于交叉熵（Cross-Entropy Loss），用于衡量模型预测的概率分布与实际标签之间的差异。对于二分类问题，其形式为：

$$L(\beta )=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\left[y_i\log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\log (1-{\hat{y}}_i)\right]$$

其中：

• ( $N$ ) 是样本数量。
• ( $y_i$ ) 是第 ($i$ ) 个样本的真实标签（$0$ 或 $1$）。
• ( ${\hat{y}}_i=\sigma (z_i)$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的预测概率。
• ( $z_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+{\beta }_2{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_n{x}_{in}$ ) 是线性组合。
• ( $\sigma (z)$ ) 是 sigmoid 函数，定义为：
  $$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
  这将线性回归的输出 ( $z$ ) 映射到 ( ($0$, $1$) ) 之间，作为类别为 $1$ 的预测概率。

（2）如何求解损失函数

求解逻辑回归的损失函数通常使用 梯度下降 等优化方法。目标是找到使损失函数最小的参数 ( $\beta$ )，即 最小化交叉熵损失。求解过程可以概括为以下步骤：

** 计算梯度**

为了最小化损失函数，我们需要对每个参数 ( ${\beta }_j$) 计算损失函数的偏导数（即梯度），并通过优化算法（如梯度下降）进行更新。

对于交叉熵损失函数，梯度计算公式为：

$$\frac{\partial L}{\partial {\beta }_j}=-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-{\hat{y}}_i)x_{ij}$$
其中：

• ( $x_{ij}$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的第 ( $j$ ) 个特征。
• ( $y_i$ ) 是第 ( $i$ ) 个样本的实际标签。
• ( ${\hat{y}}_i$) 是第 ( $i$ ) 个样本的预测概率。

使用梯度下降更新参数 ，梯度下降法通过以下公式迭代更新参数：

$${\beta }_j={\beta }_j-\alpha \frac{\partial L}{\partial {\beta }_j}$$

其中：

• ( $\alpha$ ) 是学习率（控制每次更新步长的大小）。
• ( $\frac{\partial L}{\partial {\beta }_j}$ ) 是损失函数对参数 ( ${\beta }_j$ ) 的梯度。

通过不断更新参数，使得损失函数逐渐减小，直到达到全局或局部最优解。

（3） 代码示例：逻辑回归中的梯度下降

以下是使用 Python 实现逻辑回归梯度下降的示例：

import numpy as np# Sigmoid 函数
def sigmoid(z):return 1 / (1 + np.exp(-z))# 损失函数 (交叉熵)
def compute_loss(y, y_pred):return -np.mean(y * np.log(y_pred) + (1 - y) * np.log(1 - y_pred))# 梯度下降算法
def gradient_descent(X, y, learning_rate=0.1, num_iterations=1000):m, n = X.shapebeta = np.zeros(n)  # 初始化参数for i in range(num_iterations):z = np.dot(X, beta)y_pred = sigmoid(z)gradients = np.dot(X.T, (y_pred - y)) / mbeta -= learning_rate * gradientsif i % 100 == 0:loss = compute_loss(y, y_pred)print(f"Iteration {i}: Loss = {loss}")return beta# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [1, 3], [2, 2], [2, 3]])  # 样本数据
y = np.array([0, 0, 1, 1])  # 标签数据# 在样本数据前面加一列 1 用于偏置项 (截距项)
X_bias = np.c_[np.ones(X.shape[0]), X]# 运行梯度下降求解参数
beta = gradient_descent(X_bias, y)
print("求解得到的参数:", beta)

4. 优缺点

优点：

• 简单易懂：逻辑回归模型简单，易于实现和解释。
• 概率输出：模型输出的是预测的概率，可以用于更细致的决策。
• 适用于线性可分问题：在特征与目标变量之间存在线性关系时，表现良好。

缺点：

• 线性假设：假设特征与目标之间存在线性关系，不适用于复杂的非线性关系。辑回归假设特征和类别之间的关系是线性的，对于复杂非线性问题，表现不如其他模型（如决策树、神经网络）。
• 受特征选择影响：模型对输入特征敏感，需要合适的特征选择和处理。
• 容易过拟合：在特征数量较多时，可能会发生过拟合，特别是当样本量不足时。
• 无法解决多分类问题：标准的逻辑回归只适用于二分类问题，若要应用于多分类问题，需要使用 Softmax 回归或一对多策略。

5. 代码示例

以下是使用 Python 的 scikit-learn 库实现逻辑回归的示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix, classification_report# 生成示例数据
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, n_informative=2, n_redundant=0, random_state=42)# 拆分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 创建逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)# 进行预测
y_pred = model.predict(X_test)# 评估模型
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, y_pred)
class_report = classification_report(y_test, y_pred)print("准确率:", accuracy)
print("混淆矩阵:\n", conf_matrix)
print("分类报告:\n", class_report)# 绘制决策边界
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='coolwarm', edgecolors='k')
xlim = plt.gca().get_xlim()
ylim = plt.gca().get_ylim()xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(xlim[0], xlim[1], 100), np.linspace(ylim[0], ylim[1], 100))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap='coolwarm')
plt.title('逻辑回归决策边界')
plt.xlabel('特征1')
plt.ylabel('特征2')
plt.show()

结果：

6. 总结

逻辑回归是一种简单而有效的分类模型，适合于解决二分类问题。尽管它有一些局限性（如线性假设），但在许多实际应用中，逻辑回归因其易于解释和实现而被广泛使用。通过合适的特征选择和数据处理，逻辑回归能够在很多情况下提供可靠的分类结果。