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news 2025/9/18 5:28:58

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一、定义与表示

四元数是由一个实数部分和三个虚数部分组成，通常表示为q = w + xi + yj + zk，其中w是实数，x、y、z是实数系数，i、j、k是虚数单位，满足以下关系：

i² = j² = k² = -1
ij = k，ji = -k
jk = i，kj = -i
ki = j，ik = -j

四元数也可以表示为q = [w, v]，其中v = (x, y, z)是矢量，w是标量。虽然v是矢量，但它不能简单地理解为3D空间的矢量，而是在4维空间中的矢量。

二、几何意义与旋转

四元数中的i、j、k可以理解为一种旋转，其中：

i旋转代表Z轴与Y轴相交平面中Z轴正向向Y轴正向的旋转。
j旋转代表X轴与Z轴相交平面中X轴正向向Z轴正向的旋转。
k旋转代表Y轴与X轴相交平面中Y轴正向向X轴正向的旋转。
-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

因此，四元数可以用来描述一个旋转轴和一个旋转角度。具体来说，一个四元数q可以执行一个旋转，将空间中的一个点P绕着单位向量轴u旋转θ角度。这个旋转可以通过将点P扩展到四元数空间，然后应用四元数乘法p' = qpq-1是q的共轭四元数。

三、性质与运算

四元数具有一些独特的性质和运算规则，包括：

模：四元数的模定义为|q| = √(w² + x² + y² + z²)，它表示四元数到原点的距离。
共轭四元数：四元数的共轭定义为q* = w - xi - yj - zk。共轭四元数在旋转计算中起到关键作用。
逆四元数：四元数的逆定义为q^-1 = q* / |q|²。只有当四元数为单位四元数（即模为1的四元数）时，其逆才等于其共轭。
乘法：四元数的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。四元数乘法的结果仍然是一个四元数，且可以用来合并旋转。

四、应用

四元数在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域有广泛应用。与传统的欧拉角或旋转矩阵相比，四元数提供了一种更稳定、更高效的方式来处理三维旋转。它们可以避免欧拉角存在的万向锁（Gimbal Lock）问题，并且在进行多次旋转运算时不会积攒误差。此外，四元数还非常适合于旋转的插值计算，在动画和飞行模拟等领域有广泛应用。

五、总结

综上所述，四元数是一种在三维空间中表示旋转的数学结构，由实数部分和三个虚数部分组成。它们具有独特的性质和运算规则，并广泛应用于计算机图形学、机器人学等领域。四元数的引入为三维旋转的表示和处理提供了新的思路和方法。

上面概念大家大概看一下了解就行，想要深入了解可以自己查询相关数学知识，接下来就是unity3d部分，我们直接上代码：

public class siyuanshu : MonoBehaviour
{void Start(){//创建一个四元数Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(60, Vector3.right);//创建一个游戏对象  把四元数赋值给他GameObject obj = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Cube);obj.transform.rotation = q;}
}

运行结果：

创建一个四元数：

Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(60, Vector3.right);
这行代码创建了一个四元数q，它表示一个围绕X轴（在Unity中，Vector3.right代表X轴的正方向）旋转60度的旋转。Quaternion.AngleAxis方法接受两个参数：一个是旋转的角度（以度为单位），另一个是旋转轴（一个Vector3向量）。这里，旋转轴是X轴，角度是60度。
创建一个游戏对象：

GameObject obj = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Cube);
这行代码使用GameObject.CreatePrimitive方法创建了一个新的游戏对象，这个对象是一个立方体（PrimitiveType.Cube）。新创建的游戏对象会被自动添加到当前的Unity场景中，并且其位置默认在场景的原点（0,0,0）。
把四元数赋值给游戏对象的旋转：

obj.transform.rotation = q;
这行代码将之前创建的四元数q赋值给新创建的立方体游戏对象的transform.rotation属性。这意味着立方体将会被旋转，以匹配四元数q所表示的旋转。具体来说，立方体将会围绕其自身的X轴旋转60度。

API讲解：

public static Quaternion AngleAxis(float angle, Vector3 axis);

参数：

angle (float)：要旋转的角度，以度为单位。正值表示按顺时针方向旋转（根据右手定则），负值表示按逆时针方向旋转。
axis (Vector3)：旋转所围绕的轴，该轴应该是一个归一化（即长度为1）的向量。如果提供的轴不是归一化的，Unity 会自动将其归一化，但这可能会引入一些微小的数值误差，因此最好自己预先归一化轴。

返回值：

返回一个 Quaternion，表示围绕指定轴旋转指定角度的旋转。

用法：

Quaternion.AngleAxis 常用于创建表示特定旋转的四元数，这些旋转可以随后应用于游戏对象（GameObject）的 Transform 组件，以改变其方向。

public static GameObject CreatePrimitive(PrimitiveType type);

参数：

type (PrimitiveType)：这是一个枚举类型，指定了要创建的基本几何体的类型。PrimitiveType 枚举包含了多种几何体类型，如 Cube（立方体）、Sphere（球体）、Cylinder（圆柱体）、Capsule（胶囊体）、Plane（平面）、Quad（四边形）等。

返回值：

返回一个 GameObject，它是新创建的基本几何体的实例。这个 GameObject 包含了表示几何体的 MeshRenderer 组件和 MeshFilter 组件，以及用于定位、旋转和缩放的 Transform 组件。

用法：

CreatePrimitive 方法通常用于在脚本中动态添加几何体到场景中，特别是在需要根据游戏逻辑动态生成内容的情况下。

public Quaternion rotation { get; set; }

`rotation`属性的特点：

类型：Quaternion，这是一个用于表示三维旋转的四元数结构。
可读写：你可以通过transform.rotation来获取当前游戏对象的旋转状态，也可以通过给它赋值来设置新的旋转。
影响：改变transform.rotation的值会立即影响游戏对象在场景中的方向。
避免万向锁：与欧拉角（Euler angles）相比，四元数在表示旋转时不会遇到万向锁（gimbal lock）的问题，这使得它成为三维旋转的理想选择。
组合旋转：四元数支持乘法运算，这意味着你可以将多个旋转组合在一起，得到一个总的旋转效果。例如，transform.rotation = rotationA * rotationB; 会将rotationB应用到rotationA上，得到一个新的旋转，并将其赋值给transform.rotation。
插值：在动画和过渡效果中，四元数插值（如Quaternion.Lerp和Quaternion.Slerp）允许你平滑地在两个旋转之间过渡。