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理解梯度
什么是梯度
计算梯度
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简述
在深度学习神经网络中，反向传播是一种用来训练神经网络的常用方法。它通过计算损失函数对于网络参数的梯度，然后使用梯度下降算法更新参数，以降低损失函数的值。
梯度表示了函数在某一点上的变化率和方向，对于神经网络而言，梯度表示了损失函数对于网络参数的变化率和方向。在反向传播过程中，首先通过前向传播计算出网络的输出和损失函数的值，然后利用链式法则逐层计算参数的梯度。
具体来说，反向传播的过程可以分为两个步骤：反向传播和参数更新。
在反向传播过程中，从输出层开始，通过链式法则计算每一层的梯度。首先计算输出层的梯度，然后反向传播到上一层，重复这个过程直到输入层。
在参数更新过程中，根据梯度的方向和大小，使用梯度下降算法来更新参数。梯度下降算法根据梯度的反方向调整参数的值，以使损失函数的值逐渐降低。具体来说，参数的更新公式可以表示为：参数 = 参数 - 学习率 * 梯度。
在深度学习中，梯度的理解非常重要。梯度可以告诉我们当前参数的变化趋势，通过不断迭代调整参数，使得损失函数逐渐减小，从而提高神经网络的性能。
反向传播是训练神经网络的最常用方法之一。Rumelhart、Hinton和Williams（1986）引入了反向传播，该方法到今天仍然很流行。程序员经常使用反向传播训练深层神经网络，因为在图形处理单元上运行时，它的伸缩性很好。
要了解这种用于神经网络的算法，我们必须探讨如何训练它，以及它如何处理模式。经典的反向传播已得到扩展和修改，产生了许多不同的训练算法。
理解梯度
反向传播是梯度下降的一种，许多教科书中通常互换使用这两个术语。梯度下降是指针对每个训练元素，在神经网络中的每个权重上计算一个梯度。由于神经网络不会输出训练元素的期望值，因此每个权重的梯度将为你提示如何修改权重以实现期望输出。如果神经网络确实输出了预期的结果，则每个权重的梯度将为0，这表明无需修改权重。
梯度是权重当前值下误差函数的导数。误差函数用于测量神经网络输出与预期输出的差距。实际上，我们可以使用梯度下降，在该过程中，每个权重的梯度可以让误差函数达到更低值。
梯度实质上是误差函数对神经网络中每个权重的偏导数。每个权重都有一个梯度，即误差函数的斜率。权重是两个神经元之间的连接。计算误差函数的梯度可以确定训练算法应增加，还是减小权重。反过来，这种确定将减小神经网络的误差。误差是神经网络的预期输出和实际输出之间的差异。许多不同的名为“传播训练算法”的训练算法都利用了梯度。
总的来说，梯度告诉神经网络以下信息：
● 零梯度——权重不会导致神经网络的误差；
● 负梯度——应该增加权重以减小误差；
● 正梯度——应当减小权重以减小误差。
由于许多算法都依赖于梯度计算，因此我们从分析这个过程开始。
什么是梯度
首先，让我们探讨一下梯度。本质上，训练是对权重集的搜索，这将使神经网络对于训练集具有最小的误差。如果我们拥有无限的计算资源，那么只需尝试各种可能的权重组合，来确定在训练期间提供最小误差的权重。
因为我们没有无限的计算资源，所以必须使用某种快捷方式，以避免需要检查每种可能的权重组合。这些训练算法利用了巧妙的技术，从而避免对所有权重进行蛮力搜索。但这种类型的穷举搜索将是不可能的，因为即使小型网络也具有无限数量的权重组合。
请考虑一幅图像，它展示每个可能权重的神经网络误差。
下图展示了单个权重的误差。
从上图可以看出：最佳权重是曲线的值最低的位置。问题是我们只看到当前权重的误差；我们看不到整幅图像，因为该过程需要穷尽的搜索。但是，我们可以确定特定权重下误差曲线的斜率。在这个例子中，斜率或梯度为−0.562 2。负斜率表示增大权重会降低误差。
梯度是指在特定权重下误差函数的瞬时斜率。
误差曲线在该点的导数给出了梯度。这条线的倾斜程度告诉我们特定权重下误差函数的陡峭程度。导数是微积分中最基本的概念之一。
对于本文，你只需要了解导数在特定点处提供函数的斜率即可。训练技巧和该斜率可以为你提供信息，用于调整权重，从而降低误差。现在，利用梯度的实用定义，我们将展示如何计算它。
计算梯度
我们将为每个权重单独计算一个梯度。我们不仅关注方程，也关注梯度在具有真实数值的实际神经网络中的应用。下图展示了我们将使用的神经网络——XOR神经网络。
此外，在本文中，我们将展示一些计算，说明神经网络的训练。
我们必须使用相同的起始权重，让这些计算保持一致。但是，上述权重没有什么特征，是由该程序随机生成的。前面提到的神经网络是典型的三层前馈神经网络，就像我们之前研究的那样，圆圈表示神经元，连接圆圈的线表示权重，连接线中间的矩形给出每个连接的权重。
我们现在面临的问题是，计算神经网络中每个权重的偏导数。当一个方程具有多个变量时，我们使用偏导数。每个权重均被视为变量，因为这些权重将随着神经网络的变化而独立变化。每个权重的偏导数仅显示每个权重对误差函数的独立影响。该偏导数就是梯度。
可以用微积分的链式规则来计算每个偏导数。我们从一个训练集元素开始。对于上图，我们提供[1,0]作为输入，并期望输出是1。你可以看到我们将输入应用于上图。第一个输入神经元的输入为1.0，第二个输入神经元的输入为0.0。
该输入通过神经网络馈送，并最终产生输出。第4章“前馈神经网络”介绍了计算输出与总和的确切过程。反向传播既有前向，也有反向。
计算神经网络的输出时，就会发生前向传播。我们仅针对训练集中的这个数据项计算梯度，训练集中的其他数据项将具有不同的梯度。在后文，我们将讨论如何结合各个训练集元素的梯度。现在我们准备计算梯度。
下面总结了计算每个权重的梯度的步骤：
● 根据训练集的理想值计算误差；
● 计算输出节点（神经元）的增量；
● 计算内部神经元节点的增量；
● 计算单个梯度。