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news 2025/9/18 5:17:57

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堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ，，，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，

节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

1.下列关键字序列为堆的是：（）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是（）。
A 1
B 2
C 3
D 4
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为
A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是（）
A[3，2，5，7，4，6，8]
B[2，3，5，7，4，6，8]
C[2，3，4，5，7，8，6]
D[2，3，4，5，6，7，8]

选择题答案：

1.A
2.C
3.C
4.C

堆的实现

1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？

在此我们有两种建堆方法：
1. 利用向上调整的方法，从第2 个节点开始一直调整到最后，就可以调整成堆。

2. 利用向下调整的方法，我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

但是第一种建堆的时间复杂度为 O(N*logN)，第二种建堆的时间复杂度为O(N)

所以我们在此用第二种方法。

堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

堆的代码实现

Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>typedef int HeapDataType;
typedef struct Heap
{HeapDataType* a;int size;int capacity;
}Heap;void HeapInit(Heap* ph);void HeapInitArray(HeapDataType* a, Heap* ph,int n);
void HeapDestroy(Heap* ph);
void HeapPush(Heap* ph, HeapDataType x);
void HeapPop(Heap* ph);
HeapDataType HeapTop(Heap* ph);
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child);
void AdjustDown(HeapDataType* pa, int n, int parent);
bool HeapEmpty(Heap* ph);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"void HeapInit(Heap* ph)
{assert(ph);ph->a = NULL;ph->size = 0;ph->capacity = 0;
}
void HeapDestroy(Heap* ph)
{assert(ph);ph->size = 0;ph->capacity = 0;free(ph->a);ph->a = NULL;
}//利用其它数组数据，建造一个堆存储数据
void HeapInitArray(Heap* ph,HeapDataType* a, int n)
{assert(ph);HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);if (tmp == NULL){perror("malloc fail!");exit(-1);}ph->a = tmp;ph->size = ph->capacity = n;memcpy(ph->a , a , n*sizeof(HeapDataType));//向上调整建堆，时间复杂度O（N*logN）//for (int i = 1; i < ph->size; i++)//{//	AdjustUp(ph->a,i);//}//向下调整建堆，从第一个不为叶子的节点，时间复杂度O（N）for(int i = (ph->size - 1 - 1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(ph->a,n,i);}
}void Swap(HeapDataType*p1, HeapDataType*p2)
{HeapDataType tmp=*p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void AdjustDown(HeapDataType* a,int n , int parent)
{int child = parent*2 + 1;while (child < n){if (child + 1<n && a[child + 1] < a[child]){child++;}if (a[parent] > a[child]){Swap(&a[parent],&a[child]);parent = child;child = parent * 2 +1;}else{break;}}
}
//建造小堆
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//while(parent>=0)while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
void HeapPush(Heap* ph, HeapDataType x)
{assert(ph);if (ph->size == ph->capacity){int newcapacity = ph->capacity == 0 ? 4 : ph->capacity * 2;HeapDataType* tmp=(HeapDataType*)realloc(ph->a,newcapacity*sizeof(HeapDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail!");exit(-1);}ph->a = tmp;ph->capacity = newcapacity;}ph->size++;ph->a[ph->size - 1] = x;AdjustUp(ph->a, ph->size - 1);
}
void HeapPop(Heap* ph)
{assert(ph);//必须有数据assert(ph->size);Swap(&ph->a[0], &ph->a[ph->size - 1]);ph->size--;AdjustDown(ph->a,ph->size,0);}
HeapDataType HeapTop(Heap* ph)
{assert(ph);return ph->a[0];
}
bool HeapEmpty(Heap* ph)
{assert(ph);return ph->size == 0;
}

Test.c

#include"Heap.h"
int main()
{//Heap heap1;//HeapInit(&heap1);//HeapPush(&heap1,1);//HeapPush(&heap1,54);//HeapPush(&heap1,48);//HeapPush(&heap1,48);//HeapPush(&heap1,15);//HeapPush(&heap1,35);//int a []={21,54,87,64,87,15};//Heap heap2;//HeapInit(&heap2);//for (int i = 0; i < (sizeof(a)/sizeof(int)); i++)//{//	HeapPush(&heap2, a[i]);//}//while (!HeapEmpty(&heap2))//{//	printf("%d\n", HeapTop(&heap2));//	HeapPop(&heap2);//}//int a[] = { 21,54,87,64,87,15 };//Heap heap2;//HeapInitArray(&heap2 ,a,sizeof(a)/sizeof(HeapDataType));//建立了小堆//HeapDestroy(&heap2);return 0;
}