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图论 —— 最短路 —— Bellman-Ford 算法与 SPFA_通信网理论基础 分别使用bellman-ford算法和dijkstra算法的应用-CSDN博客

图解Bellman-Ford计算过程以及正确性证明 - 知乎 (zhihu.com)

语雀版本

1 概念

**适用场景：**单源点，可以有负边，不能有负权环。

**dis(v)：**源点s到v的距离。初始话dis(s)=0,其余为无穷大。

**n：**顶点数

**m：**边数

复杂度O(mn)：对边进行n-1次遍历。如果dis(v)>dis(u)+e(u,v)，则更新dis(v)=dis(u)+e(u,v)

**合理性：**基于这个方式，每次遍历起码有一个点的dis(v)是得到最优值。所以遍历n-1次就够了。

负权环：环的权值和为负。如果按上述的方式遍历，很有可能会导致某个点的dis值经过环之后变得更小。重复遍历后越来越小。

**判断负权环：**三角不等式。无负权环时，n-1次后所有dis都是最优。如果有，则会导致得不到最小dis。基于这一点，可以在n-1次后，再遍历一次，如果还存在dis(v)>dis(u)+e(u,v)，则有负权环。

2 实现

2.1 n-1次遍历

void Bellman_Ford()
{for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF;dis[0]=0;for(int i=1;i<=n-1;i++)for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边{int x=u[j];//边j的起点int y=v[j];//边j的终点if(dis[x]<INF)//松弛dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w[j]);}
}

2.2 第n次变量——三角布不等式判断环

void Bellman_Ford()
{for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF;dis[0]=0;for(int i=1;i<=n-1;i++)for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边{int x=u[j];//边j的起点int y=v[j];//边j的终点if(dis[x]<INF)//松弛dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w[j]);}for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边{int x=u[j];//边j的起点int y=v[j];//边j的终点if(dis[y]>dis[x]+w[j])//cout<<"有负权环";return;}
}

3 SPFA-基于队列的优化

SPFA：Shortest Path Faster Algorithm。用队列来记录待遍历的点，每次不遍历所有边，只遍历和改点相邻的边。

3.1 实现

可以用双向队列，把dis小的点放在队首，提高遍历时更新的效率（更快完成所有dis更新）

struct Edge{int to,dis;
};
vector<Edge> edge[N];
bool vis[N];
int dis[N];
void SPFA(int s) {memset(dis, INF, sizeof(dis));memset(vis, false, sizeof(vis));vis[s] = true;dis[s] = 0;deque<int> Q;Q.push_back(s);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop_front();vis[x] = 0;for (int i = 0; i < edge[x].size(); i++) {int y = edge[x][i].to;if (dis[y] > dis[x] + edge[x][i].to) {dis[y] = dis[x] + edge[x][i].to;if (!vis[y]) {vis[y] = true;if (!Q.empty() && dis[y] < dis[Q.front()])//加入队首Q.push_front(y);else//加入队尾Q.push_back(y);}}}}
}

3.2 判断负环-判断每个点进队列的次数（大于n）

struct Edge {int from, to;int dis;Edge() {}Edge(int from, int to, int dis) : from(from), to(to), dis(dis) {}
};
struct SPFA {int n, m;Edge edges[N]; //所有的边信息int head[N];   //每个节点邻接表的头int next[N];   //每个点的下一条边int pre[N];    //最短路中的上一条弧bool vis[N];int dis[N];int cnt[N]; //进队次数void init(int n) {this->n = n;this->m = 0;memset(head, -1, sizeof(head));}void AddEdge(int from, int to, int dist) {edges[m] = Edge(from, to, dist);next[m] = head[from];head[from] = m++;}bool negativeCycle(int s) { //判负环memset(vis, false, sizeof(vis));memset(cnt, 0, sizeof(cnt));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[s] = 0;queue<int> Q;Q.push(s);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = next[i]) {Edge &e = edges[i];if (dis[e.to] > dis[x] + e.dis) {dis[e.to] = dis[x] + e.dis;pre[e.to] = i;if (!vis[e.to]) {vis[e.to] = true;Q.push(e.to);if (++cnt[e.to] > n)return true;}}}}return false;}
} spfa;
int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {spfa.init(n);int S;scanf("%d", &S);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, dis;scanf("%d%d%d", &x, &y, &dis);//无向边添边两次spfa.AddEdge(x, y, dis);spfa.AddEdge(y, x, dis);}spfa.negativeCycle(S);for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d\n", spfa.dis[i]);}return 0;
}