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文章目录
- 两向量共线&三向量共面
- 线段定比分点
- 内积&外积&混合积
- 内积（点积）
- 外积（叉积）
- 几何性质
- 混合积
- 轮换对称性
- 对换改变一次符号
- 线性性质
- 几何性质
- 球面方程
- 特点
- 空间平面
- 参数方程
- 行列式方程（点位式）
- 向量式方程
- 三点式方程
- 行列式方程
- 点法式
- 一般式
- 截距式
- 法式方程
- 离差
- 几何意义
- 两平面位置关系
- 相交
- 平行
- 重合
两向量共线&三向量共面
两向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a} = (x_1, y_1, z_1) a=(x1,y1,z1)， b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b} = (x_2, y_2, z_2) b=(x2,y2,z2) 共线充要条件是对应坐标成比例，即
x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} x2x1=y2y1=z2z1
推论
三点 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) A(x_1, y_1, z_1) A(x1,y1,z1)， B ( x 2 , y 2 , z 2 ) B(x_2, y_2, z_2) B(x2,y2,z2)， C ( x 3 , y 3 , z 3 ) C(x_3, y_3, z_3) C(x3,y3,z3) 共线充要条件
x 2 − x 1 x 3 − x 1 = y 2 − y 1 y 3 − y 1 = z 2 − z 1 z 3 − z 1 \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_1} = \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} x3−x1x2−x1=y3−y1y2−y1=z3−z1z2−z1
三非零向量 a ⃗ ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a}(x_1, y_1, z_1) a(x1,y1,z1)， b ⃗ ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b}(x_2, y_2, z_2) b(x2,y2,z2)， c ⃗ ( x 3 , y 3 , z 3 ) \vec{c}(x_3, y_3, z_3) c(x3,y3,z3) 共面充要条件
∣ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ∣ = 0 \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|= 0 x1x2x3y1y2y3z1z2z3 =0
四点 A i ( x i , y i , z i ) ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) A_i (x_i, y_i, z_i)\, ( i = 1, 2, 3, 4) Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4) 共面充要条件
∣ x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 z 4 − z 1 ∣ = 0 \left| \begin{array}{ccc} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \end{array} \right| = 0 x2−x1x3−x1x4−x1y2−y1y3−y1y4−y1z2−z1z3−z1z4−z1 =0
或
∣ x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 1 ∣ = 0 \left| \begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right|= 0 x1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z41111 =0
线段定比分点
设空间两点 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P_1(x_1, y_1, z_1) P1(x1,y1,z1) 和 P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) P_2(x_2, y_2, z_2) P2(x2,y2,z2)，点 P ( x , y , z ) P(x, y, z) P(x,y,z) 在 P 1 P 2 P_1 P_2 P1P2 两点连线上按比例 λ \lambda λ 分割线段 P 1 P 2 P_1 P_2 P1P2 的点 P P P，即
P 1 P P P 2 = λ \frac{P_1 P}{P P_2} = \lambda PP2P1P=λ
其中，
{ λ > 0 ( P ∈ P 1 P 2 ) λ < 0 ( P ∉ P 1 P 2 ) \begin{cases} \lambda > 0 & (P\in P_1 P_2 ) \\ \lambda < 0 & (P\notin P_1 P_2 ) \end{cases} {λ>0λ<0(P∈P1