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有限元中三角形的相关积分公式

在 $xy$ 平面中， 通过三个点 $(x_i,y_i),(x_j,y_j),(x_m,y_m)$ 定义一个三角形， 令坐标原点位于其中心(或者重心)，即
$$\frac{x_i+x_j+x_m}{3}=\frac{y_i+y_j+y_m}{3}=0$$
针对整个三角形区域的一些重要积分公式有：

$$\int dxdy=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1& x_i& y_i\\ 1& x_j& y_j\\ 1& x_m& y_m\end{array}\right|=\Delta =三角形面积$$

$$\int xdxdy=\int ydxdy=0$$

$$\int x^{2}dxdy=\frac{\Delta }{12}(x_i^2+x_j^2+x_m^2)$$

$$\int y^{2}dxdy=\frac{\Delta }{12}(y_i^2+y_j^2+y_m^2)$$

$$\int xydxdy=\frac{\Delta }{12}(x_i{y}_i+x_j{y}_j+x_m{y}_m)$$