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news 2025/9/17 22:27:03

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物理问题中常见的积分符号位置交换问题

重极限与累次极限

高数下的定义
- 累次极限：求极限时需要遵循一定的顺序
- 重极限：任意方向趋于的极限

两者之间的关系：
- 两者没啥关系
存在累次极限存在而不相等的函数
......

求和符号与积分符号互换--逐项积分问题

一致收敛性的定义级别判定方法----柯西判别法
函数项级数 $\sum u_n$ 一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N=N(\varepsilon)$ 使得 $|u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_m(x)|<\varepsilon$ 对一切 $m>n>N$ 成立

一致收敛性的判别方法之一----外尔斯特拉斯方法
设 $\sum u_n(x)$ 是一个函数项级数，若存在一个收敛的正项级数 $\sum v_n$ 且存在 $N$ 当 $n>N$ 时 $|u_n|<v_n$ ，那么函数项级数 $\sum u_n(x)$ 一致收敛

一致收敛性的判别方法之一----比较判别法
设 $\sum u_n(x)$ 是一个函数项级数，设 $q_n(x)=\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}$ ，存在正整数 $N$ 以及实数 $q,M$ 使得 $q_n(x)\leq q < 1,u_n(x)\leq M$ 对任意 $n>N,x\in D$ 成立，则函数项级数在 $D$ 上一致收敛

一致收敛性的判别方法之一----根式判别法
设 $\sum u_n(x)$ 是一个函数项级数，若存在一个正整数 $N$ 使得 $^n\sqrt{|u_n(x)|}\leq q \leq 1$ 对于所有 $n>N,x\in D$ 成立，那么函数项级数在 $D$ 上一致收敛

一致收敛性的判别方法
- 狄利克雷方法
- 阿贝尔方法

函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$ 且所有的 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，那么 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^b(\sum_{n=1}^\infty u(x))dx=\sum_{n=1}^\infty \int_a^b u_n(x)dx$