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短时Fourier变换、小波变换和Gabor变换三种线性的时频表示，它们使用时间和频率的联合函数（取线性变换形式）描述信号的频谱随时间的变化情况。同样地，也可以使用时间和频率的联合函数来描述信号的能量密度随时间变化的情况。非平稳信号的这种“能量化”表示简称为信号的时频分布。由于能量本身是信号的二次型表示，所以时频分布是非平稳信号的一种非线性变换（“能量化”的二次型变换）。

尽管短时Fourier变换、Gabor变换与小波变换这些线性时频表示能够有效描述非平稳信号的局域性能，但是当使用时频表示来描述非平稳信号的能量变化时，二次型的时频表示却是一类更加直观和合理的信号表示方法，因为能量本身就是一种二次型表示。

为了更加准确地描述非平稳信号随时间变化的能量分布，有必要研究其他性能更好的“能量化”二次型时频表示。由于这类时频表示能够描述信号的能量密度分布，所以常将它们统称为时频分布。实际上，时频分布在许多特性上优于谱图和尺度图。

时频分析是把时间信号的傅里叶变换结合起来，而时频分布侧重于能量谱的分析，分析的是信号的能量分布

一、信号的双线性变换

 

对于非平稳信号x(t)，需要研究其在每个时刻和频率的能量分布，这种时间和频率的联合函数P(t,f)称为信号的时频分布。

由信号的自相关函数和功率谱的定义可得：

其中，φ(t，T)为窗函数，R(t，T)称为局部相关函数，P(t，f)为时变功率谱，即信号能量的时频分布。 

二、时频分布的基本特性要求

性质1：时频分布必须是实的（希望是非负的）。

性质2：时频分布关于时间t和频率f的积分给出信号的总能量，即：

性质3：边缘特性 

 

 

有限支撑是从能量角度对时频分布提出的一个基本性质。在信号处理中，作为工程上的近似，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。如果信号z(t)只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱Z（w)也只在某个频率区间取非零值，则称信号z(t)及其频谱是有限支撑的。类似地，如果在z(t)和Z(ω)的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，就称时频分布是有限支撑的。Cohen提出一种理想的时频分布也应该具有有限支撑性质，即凡在信号z(t)和它的频谱Z(w)等于零的各个区域，时频分布P(t,w)也都应该等于零。 

应当指出，作为能量密度的表示，时频分布不仅应是实数，而且应当是非负的。但是，实际的时频分布却难以保证取正值。

和其他线性函数一样，线性时频表示满足线性叠加原理，这给多分量信号的分析和处理带来很大的方便，因为我们可以先对各个单分量信号单独进行分析和处理，然后再将结果叠加即可。与线性时频表示不同，二次型时频分布不再服从线性叠加原理，这使得多分量信号的时频分析不再能像线性时频表示的处理那样简单。例如，由谱图的定义容易看出，两个信号之和z1（t）+z2（t)的谱图并不等于各个信号谱图之和。

 三、时频分布的二次叠加原理

要特别注意交叉项（伪信号）的出现 ，交叉项必须进行抑制

在大多数的实际应用中，时频信号分析的主要目的是抽取出信号分量，并且抑制掉作为干扰存在的交叉项。因此，通常希望一种时频分布应该具有尽可能强的信号项和尽可能弱的交叉项。可以说，交叉项抑制既是时频分布设计的重点，也是一个难点。

四、模糊函数

模糊函数将非平稳信号x(t)变换到时延-频偏平面，表示相关，称为相关域。其二维傅里叶变换对应的时频分布称为Wigner-Ville分布。

参考视频与教材：

https://www.bilibili.com/video/BV1wS4y1D7ng/?p=11&spm_id_from=pageDriver&vd_source=77c874a500ef21df351103560dada737

现代信号处理（第三版）张贤达（编著）