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算法的奥秘：种类、特性及应用详解（算法导论笔记1）

上期总结算法的种类和大致介绍，这一期主要讲常见的六种算法详解以及演示。

排序算法：

排序算法是一类用于对一组数据元素进行排序的算法。根据不同的排序方式和时间复杂度，有多种排序算法。常见的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序等。

冒泡排序：通过不断比较相邻元素并交换顺序，使得较大的元素逐渐“浮”到数组的末尾，如同气泡一样。

选择排序：每次从未排序的元素中选择最小（或最大）的元素，放到已排序的末尾。

插入排序：将未排序的元素一个个插入到已排序的数组中，从而逐步形成排序好的数组。

快速排序：通过选择一个基准元素将数组分成两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，然后递归地对这两部分继续进行快速排序。

快速排序算法的实现包括两个主要部分：quickSort和partition。quickSort方法用于递归地排序子数组，而partition方法则用于将数组分为两个子数组，并返回基准元素的索引。在partition方法中，我们选择数组的最后一个元素作为基准，然后将小于等于基准的元素移到左边，大于基准的元素移到右边。最后，我们返回基准元素的索引，以便在quickSort方法中进一步分割子数组。在示例用法中，我们创建了一个包含七个整数的数组，并对其进行快速排序。

归并排序：采用分治策略，将数组分成若干个子数组，分别进行排序，最后将排好序的子数组合并成完整的排好序的数组。

查找算法：

查找算法用于在数据结构中查找特定元素。常见的查找算法包括线性查找和二分查找等。

线性查找：从数据结构的一端开始逐个比较每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数据结构。

二分查找：在有序的数据结构中，通过不断缩小查找范围来进行查找。首先确定查找范围的最左端和最右端，然后根据目标元素与中间元素的比较结果来确定下一步查找的方向，不断缩小查找范围直至找到目标元素或确定目标元素不存在为止。

二分查找算法是一种高效的查找算法，它要求待查找的数组必须是有序的。该算法的基本思想是将数组分成两个部分，然后根据目标元素与中间元素的比较结果，将查找范围缩小一半。具体来说，我们首先将查找范围设为整个数组，然后通过比较目标元素与中间元素的大小，不断将查找范围缩小，直到找到目标元素或确定目标元素不存在为止。在示例用法中，我们创建了一个包含五个整数的数组，并使用二分查找算法查找目标元素5的位置。如果目标元素存在，则输出其位置；否则输出“目标元素不存在”。

图论算法：

图论算法用于解决图论问题，如最短路径、最小生成树、网络流等。常见的图论算法包括Dijkstra算法、Prim算法、Kruskal算法等。

Dijkstra算法：用于求解单源最短路径问题，给定一个有向图和一个起点，求出从起点到图中所有其他节点的最短路径。

Prim算法：用于求解最小生成树问题，在一个无向加权图中找到一棵包含所有节点且权值和最小的树。

Kruskal算法：用于求解最小生成树问题，通过不断添加边来构建最小生成树，直至所有节点都被覆盖。

动态规划算法：

动态规划算法用于解决最优化问题，通过将问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，从而避免重复计算，提高求解效率。常见的动态规划算法包括背包问题、最大子段和问题等。

背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，背包的总容量有限。求解如何选择物品放入背包使得背包内的总价值最大。
最大子段和问题：给定一个整数数组，求解连续的子数组使得其和最大。

分治算法：

分治算法将问题分解为若干个子问题，分别解决这些子问题，然后将子问题的解合并以得到原问题的解。常见的分治算法包括快速排序、归并排序等。

快速排序：通过选择一个基准元素将数组分成两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，然后递归地对这两部分继续进行快速排序。最后将排好序的子数组合并成完整的排好序的数组。

归并排序：采用分治策略，将数组分成若干个子数组

贪心算法：

贪心算法是一种解决问题的策略，它的思想是每一步都选择当前情况最好或最优（即最有利）的选择，希望通过这样的选择来得到全局最优解。这种算法在每一步中都只考虑当前情况下最好或最优的选择，而不会考虑这样的选择会对后续的结果产生什么样的影响。

举个例子来说，比如找零问题：假设我们需要在钱币面额为100元、50元、20元、10元、5元和1元的钱柜中找零，贪心算法会首先选择100元的钱币，然后是50元，以此类推，直到我们找到足够的零钱。这种策略虽然不一定能找到最优解（即使用最少数量的钱币），但通常能找到一个接近最优解的结果。

贪心算法的优点在于它每一步的操作都非常简单明了，也容易实现。同时，由于它每一步都选择最优解，所以它的时间复杂度通常比较低。但是，贪心算法并不适用于所有问题，有些问题使用贪心算法可能会得到局部最优解，但不一定能得到全局最优解。因此，当我们使用贪心算法时，需要先判断它是否适用于当前的问题。

这个算法首先将硬币按照面值从大到小排序，然后从面值最大的硬币开始找零，尽可能多地使用这种硬币，直到找零的金额无法再使用这种硬币为止。然后，算法使用下一种面值较大的硬币，重复上述过程，直到找零的金额减到0为止。在实现中，我们将硬币按照面值从大到小排序，然后依次枚举每种硬币，计算使用这种硬币能够找零多少金额，然后将这种硬币加入结果列表中。重复这个过程，直到找零的金额减到0为止。