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一、红黑树的概念

  红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

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二、红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的，即树中没有连续的红色节点
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，即每条路径的黑色节点数量相等
5. 每个叶子结点(这里的叶子结点指的是空结点，也叫做NIL节点 ）都是黑色的

  红黑树中第三和第四条规则构成互斥，极限的最短一定是全黑，极限的最长一定是一黑一红 。

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三、红黑树节点的定义

enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv){}pair<K, V> _kv;		//节点的值域Colour _col;		//节点的颜色RBTreeNode<K, V>* _left;	//节点的左孩子RBTreeNode<K, V>* _right;	//节点的右孩子RBTreeNode<K, V>* _parent;	//节点的双亲
};

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四、红黑树的插入操作

  红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：一、按照二叉搜索的树规则插入新节点。二、检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏。

  因为新节点的默认颜色是红色，如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三（不能有连续的红色节点），此时需要对红黑树分情况来讨论。

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情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

  cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点。此处看到的树，可能是一颗完整的树，但是也有可能是一颗子树。

  解决方式是将将p,u改为黑，g改为红。继续把g当成cur，g是根节点，需要将g改为黑色，如果g是子树且g的双亲颜色为红色，则需要继续向上调整。

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情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

  如果u节点不存在，那么cur一定为新插入的节点，否则就违反性质4。如果u节点存在，则一定是黑色的，cur之前也是黑色的，因为新增节点是a、b节点，所以现在它是红色。

  解决方式：如果p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转。然后再将p变黑，g变红。

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情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

  解决方式：如果p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；如果p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转。旋转后就转变为了情况二。

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总结

  在这三种情况中，都有cur为红，p为红，g为黑，可以看出红黑树的关键是叔叔。U存在且为红则变色继续往上处理，U不存在或为黑，则旋转加变色。

  情况二和情况三的主要区别是单旋和双旋的不同。从图中可以看出，当p g cur为一条直线的时候，也就是情况二，单旋即可；p g cur 为一条折线的时候，也就是情况三，需要双旋。

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代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur)	//找插入位置{if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);//新节点的默认颜色是红色，因为如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整cur->_col = RED;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfater = parent->_parent;assert(grandfater);assert(grandfater->_col == BLACK);// 关键看叔叔if (parent == grandfater->_left){Node* uncle = grandfater->_right;// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfater;parent = cur->_parent;}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑else{// 情况二：右单旋+变色//     g //   p   u// cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfater);parent->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}else{// 情况三：左右单旋+变色//     g //   p   u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfater);cur->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}break;}}else // (parent == grandfater->_right){Node* uncle = grandfater->_left;// 情况一if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfater;parent = cur->_parent;}else{// 情况二：左单旋+变色//     g //   u   p//         cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfater);parent->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}else{// 情况三：右左单旋+变色//     g //   u   p//     cRotateR(parent);RotateL(grandfater);cur->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;
}

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五、红黑树的验证

  红黑树的检测分为两步：一、检测其是否满足二叉搜索树，这里只需要中序遍历是否为有序序列即可。二、检测其是否满足红黑树的性质。

public:bool IsBalance(){if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col == RED){cout << "根节点不是黑色" << endl;return false;}int benchmark = 0;return PrevCheck(_root, 0, benchmark);}
private:bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark){if (root == nullptr){if (benchmark == 0){benchmark = blackNum;return true;}if (blackNum != benchmark){cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}else{return true;}}if (root->_col == BLACK){++blackNum;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);}

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五、红黑树的删除

  红黑树的删除过于复杂，可以参考 红黑树的删除 这篇博客

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六、红黑树与AVL树的比较

  红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

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七、红黑树的应用

  红黑树的应用场景建议观看这个视频讲解红黑树在linux中的3种应用场景

八、红黑树模拟实现

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv){}pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;
};template<class K, class V>
struct RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V>  Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur)	//找插入位置{if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);//新节点的默认颜色是红色，因为如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整cur->_col = RED;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfater = parent->_parent;assert(grandfater);assert(grandfater->_col == BLACK);// 关键看叔叔if (parent == grandfater->_left){Node* uncle = grandfater->_right;// 情况一 : uncle存在且为红，变色+继续往上处理if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfater;parent = cur->_parent;}// 情况二+三：uncle不存在 + 存在且为黑else{// 情况二：右单旋+变色//     g //   p   u// cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfater);parent->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}else{// 情况三：左右单旋+变色//     g //   p   u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfater);cur->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}break;}}else // (parent == grandfater->_right){Node* uncle = grandfater->_left;// 情况一if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfater;parent = cur->_parent;}else{// 情况二：左单旋+变色//     g //   u   p//         cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfater);parent->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}else{// 情况三：右左单旋+变色//     g //   u   p//     cRotateR(parent);RotateL(grandfater);cur->_col = BLACK;grandfater->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){if (_root == nullptr){return true;}if (_root->_col == RED){cout << "根节点不是黑色" << endl;return false;}// 黑色节点数量基准值int benchmark = 0;return PrevCheck(_root, 0, benchmark);}private:bool PrevCheck(Node* root, int blackNum, int& benchmark){if (root == nullptr){if (benchmark == 0){benchmark = blackNum;return true;}if (blackNum != benchmark){cout << "某条黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}else{return true;}}if (root->_col == BLACK){++blackNum;}if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return PrevCheck(root->_left, blackNum, benchmark)&& PrevCheck(root->_right, blackNum, benchmark);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* ppNode = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR;}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode;}}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR){subLR->_parent = parent;}Node* ppNode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}
private:Node* _root = nullptr;
};