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1. 判别分析简介

  判别分析（Discriminant Analysis） 是一种统计方法，用于在已知分类的样本中构建分类器，并根据特征变量对未知类别的样本进行分类。常见的判别分析方法包括线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA） 和 二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis, QDA）。

2. 判别分析原理

2.1 线性判别分析（LDA）：

• 线性判别分析假设每个类别的数据在特征空间中服从高斯分布，并且各类别共享相同的协方差矩阵。
• 目标是找到一个投影方向，使得投影后不同类别的样本在该方向上的投影值具有最大的可分性。
• 判别函数为线性函数：${\delta }_k(x)=x^T{\Sigma }^{-1}{\mu }_k-\frac{1}{2}{\mu }_k^T{\Sigma }^{-1}{\mu }_k+\log ({\pi }_k)$ ，其中 ${\mu }_k$ 是第 $k$ 类的均值向量，$\Sigma$ 是协方差矩阵，${\pi }_k$ 是第 $k$ 类的先验概率。

2. 二次判别分析（QDA）：
   • 二次判别分析不假设各类别的协方差矩阵相同，因此判别函数为二次函数。
   • 判别函数为: ${\delta }_k(x)=-\frac{1}{2}\log |{\Sigma }_k|-\frac{1}{2}(x-{\mu }_k{)}^T{\Sigma }_k^{-1}(x-{\mu }_k)+\log ({\pi }_k)$，其中 ${\Sigma }_k$ 是第 $k$ 类的协方差矩阵。

3. 案例分析

3.1 数据集介绍

我们将生成一个包含两个类别（Class 1 和 Class 2）的数据集，每个类别各有50个样本。每个样本包含两个特征（Feature 1 和 Feature 2）。

3.2 数据生成

我们使用mvnrnd函数生成多元正态分布的随机数，可以通过调整mu和sigmal来改变数据的混乱程度。

% 生成数据
rng(1); % 设置随机种子以保证可重复性% 类别1的数据
mu1 = [2, 3];
sigma1 = [2, 1.5; 1.5, 2];
data1 = mvnrnd(mu1, sigma1, 50);% 类别2的数据
mu2 = [5, 6];
sigma2 = [2, -1.5; -1.5, 2];
data2 = mvnrnd(mu2, sigma2, 50);% 合并数据
data = [data1; data2];
labels = [ones(50, 1); ones(50, 1) * 2];% 可视化数据
figure;
scatter(data1(:,1), data1(:,2), 'r', 'filled');
hold on;
scatter(data2(:,1), data2(:,2), 'b', 'filled');
xlabel('Feature 1');
ylabel('Feature 2');
legend('Class 1', 'Class 2');
title('Generated Data for Discriminant Analysis');
hold off;

生成数据以后，绘制数据的散点图如下：

3.3 线性判别分析模型

我们将使用线性判别分析（LDA）对数据进行分类：

% 打乱数据
randIndex = randperm(length(labels));
data = data(randIndex, :);
labels = labels(randIndex, :);% 拆分训练集和测试集
cv = cvpartition(labels, 'HoldOut', 0.3);
trainData = data(training(cv), :);
trainLabels = labels(training(cv));
testData = data(test(cv), :);
testLabels = labels(test(cv));% 训练QDA模型
qdaModel = fitcdiscr(trainData, trainLabels, 'DiscrimType', 'quadratic');% 预测
predictedLabels = predict(qdaModel, testData);% 计算准确率
accuracy = sum(predictedLabels == testLabels) / length(testLabels);
fprintf('QDA Classification Accuracy: %.2f%%\n', accuracy * 100);% 可视化判别边界
figure;
gscatter(data(:,1), data(:,2), labels, 'rb', 'oo');
hold on;% 绘制决策边界
xrange = linspace(min(data(:,1)), max(data(:,1)), 100);
yrange = linspace(min(data(:,2)), max(data(:,2)), 100);
[x, y] = meshgrid(xrange, yrange);
xy = [x(:) y(:)];
predGrid = predict(qdaModel, xy);
predGrid = reshape(predGrid, size(x));contour(x, y, predGrid, [1.5 1.5], 'k', 'LineWidth', 2);
xlabel('Feature 1');
ylabel('Feature 2');
legend('Class 1', 'Class 2', 'Decision Boundary');
title('QDA Decision Boundary');
hold off;

得到线性判别分析模型分类的准确率为93.33%。
分类结果可视化如下：

3.4 二次判别分析模型

我们将使用二次判别分析（QDA）对数据进行分类：

% 打乱数据
randIndex = randperm(length(labels));
data = data(randIndex, :);
labels = labels(randIndex, :);% 拆分训练集和测试集
cv = cvpartition(labels, 'HoldOut', 0.3);
trainData = data(training(cv), :);
trainLabels = labels(training(cv));
testData = data(test(cv), :);
testLabels = labels(test(cv));% 训练QDA模型
qdaModel = fitcdiscr(trainData, trainLabels, 'DiscrimType', 'quadratic');% 预测
predictedLabels = predict(qdaModel, testData);% 计算准确率
accuracy = sum(predictedLabels == testLabels) / length(testLabels);
fprintf('QDA Classification Accuracy: %.2f%%\n', accuracy * 100);% 可视化判别边界
figure;
gscatter(data(:,1), data(:,2), labels, 'rb', 'oo');
hold on;% 绘制决策边界
xrange = linspace(min(data(:,1)), max(data(:,1)), 100);
yrange = linspace(min(data(:,2)), max(data(:,2)), 100);
[x, y] = meshgrid(xrange, yrange);
xy = [x(:) y(:)];
predGrid = predict(qdaModel, xy);
predGrid = reshape(predGrid, size(x));contour(x, y, predGrid, [1.5 1.5], 'k', 'LineWidth', 2);
xlabel('Feature 1');
ylabel('Feature 2');
legend('Class 1', 'Class 2', 'Decision Boundary');
title('QDA Decision Boundary');
hold off;

得到二次判别分析模型分类的准确率为96.67%。
分类结果可视化如下：

4. 总结

  判别分析是一种有效的分类方法，通过对特征空间中数据分布的建模，可以实现对未知样本的分类。本文通过一个具体的案例展示了如何生成数据并使用MATLAB实现线性判别分析模型和二次判别分模型，并进行了分类准确率的计算和决策边界的可视化。