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网页设计网站怎么做特效开发网站公司有哪些

news 2025/9/17 23:58:03

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Lecture16 Ray Tracing 4 (Monte Carlo Path Tracing

一、蒙特卡洛积分 Monte Carlo Integration
二、路径追踪 Path tracing
- 1.Whitted-Style Ray Tracing's Problems
- 2.只考虑直接光照时
- 3.考虑全局光照
- - ①考虑物体的反射光
  - ②俄罗斯轮盘赌 RR （得到正确shade函数）
  - ③射线生成（追踪足够多的path）
  - ④对光源进行采样
  - - 推导
  - ⑤结束

一、蒙特卡洛积分 Monte Carlo Integration

为什么：用于解决难以求解的积分问题
是什么/怎么办：在x轴上随机采样积分，而不是均匀采样
函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分 $\int_{a}^{b}f(x)dx$
随机变量 $X_{i} \sim p(x)$
得到蒙特卡洛积分为 $F_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X_{i})}{p(X_{i})}$

二、路径追踪 Path tracing

1.Whitted-Style Ray Tracing’s Problems

只处理镜面或者透明物体的反射和折射，在漫反射时就停止了，忽略了物体之间的反射
在glossy金属材质时，不应该全部都反射
但是 渲染方程是对的
- $L_{r}(p, ω_{r})$ = $L_{e}( p, ω_{o})$ + $\int_{Ω^+}^{} L_{r}( p , -ω_{i}) f_{r}( p , ω_{i} ,ω_{r}) ( n \cdot ω_{i})dw_{i}$

2.只考虑直接光照时

$L_{o}(p, ω_{o})$ = $\int_{Ω^+}^{} L_{i}( p , ω_{i}) f_{r}( p , ω_{i} ,ω_{o}) (n\cdotω_{i})dw_{i}$ 用蒙特卡罗积分求解 $F_{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X_{i})}{p(X_{i})}$
f(x) 是 $L_{i}(p,ω_{i})f_{r}(p,ω_{i},ω_{o})(n\cdotω_{i})$
pdf（概率密度函数）是 “对半球进行采样” $p(ω_{i}) = \frac{1}{2Π}$
得到式子 $L_{o}(p, ω_{o})$ = $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{L_{i}(p,ω_{i})f_{r}(p,ω_{i},ω_{o})(n\cdotω_{i})}{p(ω_{i})}$ 是正确的直接光照公式

3.考虑全局光照

①考虑物体的反射光

在这里插入图片描述

Q同样也反射光线到P上（方向上也相当于P到Q点的光）
Q 的直接光照 = Q 到 P 的反射
但是这样做光线会有 指数级增长
假设只有一根光线时（只选择一个方向 $ω_{i}$ ）
但递归需要停止，不然计算量无限增加（但又想保证质量）—— 俄罗斯轮盘赌 RR

②俄罗斯轮盘赌 RR （得到正确shade函数）

通过随机概率选择是否继续追踪光线，可以有效地控制光线数量，并避免能量损失过多
实现步骤
- 设置一个概率 P
- 以概率 P 发射光线：若随机数＜ P，则发射并计算光线亮度 Lo
- 以概率 1-P 不发射光线：若随机数 ≥ P，不发射光线，认为亮度为0
- 能量补偿：由于第三步会导致能量损失，为了弥补损失，需要将得到的光线亮度 Lo 除以 P，即 Lo/P，可以保证期望值不变

③射线生成（追踪足够多的path）

1.在 每个像素内均匀选择多个采样点
2.并为每个采样点发射一条光线，
3.然后使用路径追踪算法 计算每条光线的亮度
4.将他们 平均起来得到像素最终亮度

④对光源进行采样

在这里插入图片描述

由于光源相对于半球来说比较小，所以每个采样点发射的光线中，只有很少一部分会击中光源（有很少的光会从光源击中半球上被采样到的点），用均匀采样会导致浪费
光源对场景的贡献亮度远远大于了其他方向，应该 更多地采样光源方向，提高效率

推导

假设光源面积为 A —— pdf = $\frac{1}{A}$
渲染方程在立体角上的积分 Lo = $\int Li\cdot fr\cdot cos dω$ —— 这个积分代表场景中一点的亮度Lo 是半球上 所有方向的光线亮度和反射率的积分
为了使用蒙特卡洛积分来估计场景中一点的亮度Lo，我们需要将渲染方程转化为对光源的积分
数学的转化，需要找到 立体角 dω 和光源表面积 dA 之间的关系 —— 光源面积立体角方向在球面上的投影
立体角的求法：球面面积法 $ω = S/r^2$ —— $\frac{dA cosθ'}{|x'-x|^2}$
此时重写渲染方程 Lo = $\int_{A}^{} L_{i}( x, ω_{i}) f_{r}( x, ω_{i} ,ω_{o})\frac{cosθcosθ'}{|x'-x|^2}dA$
可以写出蒙特卡洛积分 f(x) = $L_{i}( x, ω_{i}) f_{r}( x, ω_{i} ,ω_{o})\frac{cosθcosθ'}{|x'-x|^2}$ ，pdf = 1/A