简介

在深度学习中，经常会使用EMA（指数移动平均）这个方法对模型的参数做平均，以求提高测试指标并增加模型鲁棒。

指数移动平均（Exponential Moving Average）也叫权重移动平均（Weighted Moving Average），是一种给予近期数据更高权重的平均方法。

例子

假设有”温度-天数“的数据
${\theta }_t$：在第 t 天的温度
$v_t$：在第 t 天的移动平均数
$\beta$： 权重参数

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\\ v_1& =0.9v_0+0.1{\theta }_1\\ v_2& =0.9v_1+0.1{\theta }_2\\ & \cdots \\ v_t& =0.9v_{t-1}+0.1{\theta }_t\end{array}$$

红线即是蓝色数据点的指数移动平均

$V_t$ 和 $\beta$ 的关系

$v_t$ 大概表示前 $\frac{1}{1-\beta }$ 天的平均数据（以第 t 天做参考）

$\beta =0.9$	$\frac{1}{1-\beta }\approx 10$	$v_t$ 大概表示前10天的平均数据	红线
$\beta =0.98$	$\frac{1}{1-\beta }\approx 50$	$v_t$ 大概表示前50天的平均数据	绿线
$\beta =0.5$	$\frac{1}{1-\beta }\approx 2$	$v_t$ 大概表示前2天的平均数据	黄线
那么$\beta$ 越大，表示考虑的时间阔度越大

理解$v_t$

$$\begin{array}{r}{v}_t=\beta \cdot v_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\theta }_t\end{array}$$

当 $\beta =0.9$，从$v_{100}$往回写

$$\begin{array}{rl}{v}_{100}& =0.9v_{99}+0.1{\theta }_{100}\\ v_{99}& =0.9v_{98}+0.1{\theta }_{99}\\ & \cdots \\ v_1& =0.9v_0+0.1{\theta }_1\\ v_0& =0\end{array}$$

迭代该过程可知：

• $v_{100} 是 ${\theta }_{100}{\theta }_{99}{\theta }_{98}\cdots$ 的加权求和
• $\theta$ 前的系数相加为 1 或逼近 1

当某项系数小于峰值系数 (𝟏−𝜷）的 $\frac{1}{e}$ 时，可以忽略它的影响

$(0.9{)}^{1}0\simeq 0.34\simeq \frac{1}{e}$ 所以当β=0.9时，相当于前10天的加权平均。

$(0.98{)}^{5}0\simeq 0.36\simeq \frac{1}{e}$ 所以当β=0.98时，相当于前50天的加权平均。

$(0.5{)}^2\simeq 0.25\simeq \frac{1}{e}$ 所以当β=0.5时，相当于前2天的加权平均。

带入深度学习模型

$v_t=\beta \cdot v_{t-1}+(1-\beta )\cdot {\theta }_t$
${\theta }_t$：在第 t 次更新得到的所有参数权重
$v_t$：第 t 次更新的所有参数移动平均数
$\beta$：权重参数

EMA内在

对于更新 t 次时普通的参数权重 ${\theta }_t$ ($g_t$ 是第 t 次传播得到的梯度)：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_t& ={\theta }_{t-1}-g_{t-1}\\ & ={\theta }_{t-2}-g_{t-1}-g_{t-2}\\ & =\cdots \\ & ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{t-1}{g}_i\end{array}$$

对于更新 t 次时使用EMA的参数权重 $v_t$：

$$\begin{array}{rl}{\theta }_t& ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{t-1}{g}_i\\ v_t& ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{t-1}(1-{\beta }^{t-i})g_i\end{array}$$

推理如下：将 ${\theta }_n$ 带入 $v_n$ 表达式，并且令 $v_0={\theta }_1$:

$$\begin{array}{rl}{v}_n& ={\beta }^t{v}_0+(1-\beta )({\theta }_t+\beta {\theta }_{t-1}+{\beta }^2{\theta }_{t-2}+\cdots +{\beta }^{n-1}{\theta }_1)\\ & ={\beta }^t{v}_0+(1-\beta )({\theta }_1-\sum _{i=1}^{t-1}{g}_i+\beta ({\theta }_1-\sum _{i=1}^{t-2}{g}_i)+\cdots +{\beta }^{t-2}({\theta }_1-\sum _{i=1}^1{g}_i)+{\beta }^{t-1}{\theta }_1)\\ & ={\beta }^t{v}_0+(1-{\beta }^t){\theta }_1-\sum _{i=1}^{n-1}(1-{\beta }^{t-i})g_i\\ & ={\theta }_1-\sum _{i=1}^{t-1}(1-{\beta }^{t-i})g_i\end{array}$$

普通的参数权重相当于一直累积更新整个训练过程的梯度，使用EMA的参数权重相当于使用训练过程梯度的加权平均（刚开始的梯度权值很小）。由于刚开始训练不稳定，得到的梯度给更小的权值更为合理，所以EMA会有效。

代码实现

class EMA(nn.Module):def __init__(self, model, decay=0.9999, device=None):super(EMA, self).__init__()# make a copy of the model for accumulating moving average of weightsself.module = deepcopy(model)self.module.eval()self.decay = decay# perform ema on different device from model if setself.device = deviceif self.device is not None:self.module.to(device=device)def _update(self, model, update_fn):with torch.no_grad():for ema_v, model_v in zip(self.module.state_dict().values(), model.state_dict().values):if self.device is not None:model_v = model_v.to(device=self.device)ema_v.copy_(update_fn(ema_v, model_v))def update(self, model):self._update(model, update_fn=lambda e, m: self.decay * e + (1. - self.decay) * m)def set(self, model):self._update(model, update_fn=lambda e, m: m)

class LitEma(nn.Module):def __init__(self, model, decay=0.9999, use_num_upates=True):super().__init__()if decay < 0.0 or decay > 1.0:raise ValueError('Decay must be between 0 and 1')self.m_name2s_name = {}self.register_buffer('decay', torch.tensor(decay, dtype=torch.float32))self.register_buffer('num_updates', torch.tensor(0, dtype=torch.int) if use_num_upateselse torch.tensor(-1, dtype=torch.int))for name, p in model.named_parameters():if p.requires_grad:# remove as '.'-character is not allowed in bufferss_name = name.replace('.', '')self.m_name2s_name.update({name: s_name})self.register_buffer(s_name, p.clone().detach().data)self.collected_params = []def forward(self, model):decay = self.decayif self.num_updates >= 0:self.num_updates += 1decay = min(self.decay, (1 + self.num_updates) / (10 + self.num_updates))one_minus_decay = 1.0 - decaywith torch.no_grad():m_param = dict(model.named_parameters())shadow_params = dict(self.named_buffers())for key in m_param:if m_param[key].requires_grad:sname = self.m_name2s_name[key]shadow_params[sname] = shadow_params[sname].type_as(m_param[key])shadow_params[sname].sub_(one_minus_decay * (shadow_params[sname] - m_param[key]))else:assert not key in self.m_name2s_namedef copy_to(self, model):m_param = dict(model.named_parameters())shadow_params = dict(self.named_buffers())for key in m_param:if m_param[key].requires_grad:m_param[key].data.copy_(shadow_params[self.m_name2s_name[key]].data)else:assert not key in self.m_name2s_namedef store(self, parameters):"""Save the current parameters for restoring later.Args:parameters: Iterable of `torch.nn.Parameter`; the parameters to betemporarily stored."""self.collected_params = [param.clone() for param in parameters]def restore(self, parameters):"""Restore the parameters stored with the `store` method.Useful to validate the model with EMA parameters without affecting theoriginal optimization process. Store the parameters before the`copy_to` method. After validation (or model saving), use this torestore the former parameters.Args:parameters: Iterable of `torch.nn.Parameter`; the parameters to beupdated with the stored parameters."""for c_param, param in zip(self.collected_params, parameters):param.data.copy_(c_param.data)