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前言

在机器学习和数据科学中，线性回归是一种常见而重要的方法。本文将以一个简单的代码示例为基础，介绍线性回归的基本原理和应用。将使用Python和NumPy库来实现一个简单的线性回归模型和使用最小均方误差（MSE）损失函数来衡量模型的拟合准确性，并通过优化权重参数来提高模型的性能。

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一、示例代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 准备数据
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]w = 0.0  # 定义并初始化权重参数# 定义模型
def forward(x):return x*w# 定义损失函数
def loss(x, y):y_pred = forward(x)return (y_pred-y) * (y_pred-y)# 存放权重和损失值，保留在列表里面
w_list = []
mse_list = []# 生成0.0-4.0，步长值为0.1的序列
for w in np.arange(0.0, 4.1, 0.1):print('w=',w)l_sum = 0for x_val, y_val in zip(x_data, y_data):   # 将x_data和y_data进行组合成一个新的迭代器，相当于【(x_data【0】，y_data【0】)，（x_data【1】，y_data【1】）】y_pred_val = forward(x_val)  # 计算预测值loss_val = loss(x_val, y_val)  # 计算损失l_sum += loss_val  # 将这一轮中的损失值进行累加，用于计算平均损失值print('\t', x_val, y_val, y_pred_val, loss_val)print('MSE=', l_sum / 3)w_list.append(w)mse_list.append(l_sum / 3)# 在绘图中显示
plt.plot(w_list, mse_list)
plt.ylabel('loss')
plt.xlabel('w')
plt.show()

代码结果：

w= 0.01.0 2.0 0.0 4.02.0 4.0 0.0 16.03.0 6.0 0.0 36.0
MSE= 18.666666666666668
w= 0.11.0 2.0 0.1 3.612.0 4.0 0.2 14.443.0 6.0 0.30000000000000004 32.49
MSE= 16.846666666666668
w= 0.21.0 2.0 0.2 3.242.0 4.0 0.4 12.963.0 6.0 0.6000000000000001 29.160000000000004
MSE= 15.120000000000003
w= 0.300000000000000041.0 2.0 0.30000000000000004 2.88999999999999972.0 4.0 0.6000000000000001 11.5599999999999993.0 6.0 0.9000000000000001 26.009999999999998
MSE= 13.486666666666665
w= 0.41.0 2.0 0.4 2.56000000000000052.0 4.0 0.8 10.2400000000000023.0 6.0 1.2000000000000002 23.04
MSE= 11.946666666666667
w= 0.51.0 2.0 0.5 2.252.0 4.0 1.0 9.03.0 6.0 1.5 20.25
MSE= 10.5
w= 0.60000000000000011.0 2.0 0.6000000000000001 1.95999999999999972.0 4.0 1.2000000000000002 7.8399999999999993.0 6.0 1.8000000000000003 17.639999999999993
MSE= 9.146666666666663
w= 0.70000000000000011.0 2.0 0.7000000000000001 1.68999999999999952.0 4.0 1.4000000000000001 6.7599999999999983.0 6.0 2.1 15.209999999999999
MSE= 7.886666666666666
w= 0.81.0 2.0 0.8 1.442.0 4.0 1.6 5.763.0 6.0 2.4000000000000004 12.959999999999997
MSE= 6.719999999999999
w= 0.91.0 2.0 0.9 1.21000000000000022.0 4.0 1.8 4.8400000000000013.0 6.0 2.7 10.889999999999999
MSE= 5.646666666666666
w= 1.01.0 2.0 1.0 1.02.0 4.0 2.0 4.03.0 6.0 3.0 9.0
MSE= 4.666666666666667
w= 1.11.0 2.0 1.1 0.80999999999999982.0 4.0 2.2 3.23999999999999933.0 6.0 3.3000000000000003 7.289999999999998
MSE= 3.779999999999999
w= 1.20000000000000021.0 2.0 1.2000000000000002 0.63999999999999972.0 4.0 2.4000000000000004 2.55999999999999873.0 6.0 3.6000000000000005 5.759999999999997
MSE= 2.986666666666665
w= 1.31.0 2.0 1.3 0.489999999999999942.0 4.0 2.6 1.95999999999999973.0 6.0 3.9000000000000004 4.409999999999998
MSE= 2.2866666666666657
w= 1.40000000000000011.0 2.0 1.4000000000000001 0.35999999999999982.0 4.0 2.8000000000000003 1.43999999999999933.0 6.0 4.2 3.2399999999999993
MSE= 1.6799999999999995
w= 1.51.0 2.0 1.5 0.252.0 4.0 3.0 1.03.0 6.0 4.5 2.25
MSE= 1.1666666666666667
w= 1.61.0 2.0 1.6 0.159999999999999922.0 4.0 3.2 0.63999999999999973.0 6.0 4.800000000000001 1.4399999999999984
MSE= 0.746666666666666
w= 1.70000000000000021.0 2.0 1.7000000000000002 0.08999999999999992.0 4.0 3.4000000000000004 0.35999999999999963.0 6.0 5.1000000000000005 0.809999999999999
MSE= 0.4199999999999995
w= 1.81.0 2.0 1.8 0.039999999999999982.0 4.0 3.6 0.159999999999999923.0 6.0 5.4 0.3599999999999996
MSE= 0.1866666666666665
w= 1.90000000000000011.0 2.0 1.9000000000000001 0.0099999999999999742.0 4.0 3.8000000000000003 0.03999999999999993.0 6.0 5.7 0.0899999999999999
MSE= 0.046666666666666586
w= 2.01.0 2.0 2.0 0.02.0 4.0 4.0 0.03.0 6.0 6.0 0.0
MSE= 0.0
w= 2.11.0 2.0 2.1 0.0100000000000000182.0 4.0 4.2 0.040000000000000073.0 6.0 6.300000000000001 0.09000000000000043
MSE= 0.046666666666666835
w= 2.21.0 2.0 2.2 0.040000000000000072.0 4.0 4.4 0.160000000000000283.0 6.0 6.6000000000000005 0.36000000000000065
MSE= 0.18666666666666698
w= 2.30000000000000031.0 2.0 2.3000000000000003 0.090000000000000162.0 4.0 4.6000000000000005 0.360000000000000653.0 6.0 6.9 0.8100000000000006
MSE= 0.42000000000000054
w= 2.40000000000000041.0 2.0 2.4000000000000004 0.160000000000000282.0 4.0 4.800000000000001 0.64000000000000113.0 6.0 7.200000000000001 1.4400000000000026
MSE= 0.7466666666666679
w= 2.51.0 2.0 2.5 0.252.0 4.0 5.0 1.03.0 6.0 7.5 2.25
MSE= 1.1666666666666667
w= 2.61.0 2.0 2.6 0.36000000000000012.0 4.0 5.2 1.44000000000000043.0 6.0 7.800000000000001 3.2400000000000024
MSE= 1.6800000000000008
w= 2.71.0 2.0 2.7 0.490000000000000272.0 4.0 5.4 1.9600000000000013.0 6.0 8.100000000000001 4.410000000000006
MSE= 2.2866666666666693
w= 2.80000000000000031.0 2.0 2.8000000000000003 0.64000000000000052.0 4.0 5.6000000000000005 2.5600000000000023.0 6.0 8.4 5.760000000000002
MSE= 2.986666666666668
w= 2.90000000000000041.0 2.0 2.9000000000000004 0.81000000000000062.0 4.0 5.800000000000001 3.24000000000000243.0 6.0 8.700000000000001 7.290000000000005
MSE= 3.780000000000003
w= 3.01.0 2.0 3.0 1.02.0 4.0 6.0 4.03.0 6.0 9.0 9.0
MSE= 4.666666666666667
w= 3.11.0 2.0 3.1 1.21000000000000022.0 4.0 6.2 4.8400000000000013.0 6.0 9.3 10.890000000000004
MSE= 5.646666666666668
w= 3.21.0 2.0 3.2 1.44000000000000042.0 4.0 6.4 5.7600000000000023.0 6.0 9.600000000000001 12.96000000000001
MSE= 6.720000000000003
w= 3.30000000000000031.0 2.0 3.3000000000000003 1.69000000000000062.0 4.0 6.6000000000000005 6.76000000000000253.0 6.0 9.9 15.210000000000003
MSE= 7.886666666666668
w= 3.40000000000000041.0 2.0 3.4000000000000004 1.9600000000000012.0 4.0 6.800000000000001 7.8400000000000043.0 6.0 10.200000000000001 17.640000000000008
MSE= 9.14666666666667
w= 3.51.0 2.0 3.5 2.252.0 4.0 7.0 9.03.0 6.0 10.5 20.25
MSE= 10.5
w= 3.61.0 2.0 3.6 2.56000000000000052.0 4.0 7.2 10.2400000000000023.0 6.0 10.8 23.040000000000006
MSE= 11.94666666666667
w= 3.71.0 2.0 3.7 2.89000000000000062.0 4.0 7.4 11.5600000000000023.0 6.0 11.100000000000001 26.010000000000016
MSE= 13.486666666666673
w= 3.80000000000000031.0 2.0 3.8000000000000003 3.2400000000000012.0 4.0 7.6000000000000005 12.9600000000000043.0 6.0 11.4 29.160000000000004
MSE= 15.120000000000005
w= 3.90000000000000041.0 2.0 3.9000000000000004 3.6100000000000012.0 4.0 7.800000000000001 14.4400000000000053.0 6.0 11.700000000000001 32.49000000000001
MSE= 16.84666666666667
w= 4.01.0 2.0 4.0 4.02.0 4.0 8.0 16.03.0 6.0 12.0 36.0
MSE= 18.666666666666668

可以显而易见

w= 2.01.0 2.0 2.0 0.02.0 4.0 4.0 0.03.0 6.0 6.0 0.0
MSE= 0.0

当w=2时，mse=0,即我们需要的最优模型为y=2x
绘图显示如下：

从图上也可以直观显示w=2时模型为优。

二、示例代码解读

1.线性回归模型

在这个示例代码中，定义了一个简单的线性回归模型，其中输入特征与权重参数进行线性组合，得到预测结果。这个模型的数学表示就是y=w*x，其中y是预测结果，w是权重参数，x是输入特征。

2.MSE损失函数

使用最小均方误差MSE作为损失函数来衡量模型的拟合准确性。MSE计算预测值与真实值之差的平方，并求平均值。在这段代码中，定义了一个损失函数loss（x,y）,其中x和y分别表示输入特征和真实值。该函数通过调用前向传播函数forward(x)得到预测值，并在计算损失时使用了MSE公式。

3.优化过程

现在，我们探讨优化过程。在代码中，我们使用了np.arange生成0.0到4.0步长为0.1的一系列权重值作为迭代的候选权重参数，然后，通过遍历数据集中样本，计算每个权重值对应的平均损失。循环迭代过程中，存储权重和损失值的列表w_list和mse_list,最终使用matplotlib.pyplot绘制出权重与平均损失的关系图。

4.结果解读

通过绘制的图像，我们可以观察到权重与平均损失之间的关系。对于不同的权重取值，平均损失会有所变化。我们的目的是寻找使损失最小化的最优权重。通过不断调整权重参数，我们可以优化模型的拟合效果，使得预测结果与真实值更接近。

关于文章中zip(）函数用法，可以参看我的这一篇文章：Python中的zip函数：合并和解压可迭代对象的利器。

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总结

通过观察权重与平均损失的关系图，我们可以找到使损失最小化的最优权重。这个示例代码展示了如何利用线性回归模型和MSE损失函数来优化权重参数，以实现更好的数据拟合。线性回归是机器学习中最基础的模型之一，理解其原理和应用对于理解其他回归算法和数据拟合技术非常重要。通过学习和应用这些基本概念，我们可以更好地处理和分析实际问题，并为数据提供准确的预测和解释。