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微分方程（英語：Differential equation，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数值。

常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移  和时间  的关系就可以表示为如下常微分方程： 

 

ODE solver是常微分方程的数值解法工具。它使用数值解法来近似求解常微分方程,得到近似的解。 

 

 从输入层 h(0) 开始，我们可以将输出层 h(T ) 定义为这个 ODE 初始值问题在某个时间 T 的解。该值可以由黑盒微分方程求解器计算。

给定z(t0)和f的参数，向前传播求解z(t1)很容易。（只需要一个ODESolve）

但是用反向传播求L 关于 θ 的梯度，怎么求？

 

第一步是确定损失的梯度如何取决于每个时刻的隐藏状态 z(t)。这个量称为伴

随 a(t) = ∂L /∂z(t) 。它的动态由另一个 ODE 给出，

               （35）

我们指出了伴随方法和反向传播（等式 38）之间的相似性。类似于反向传播，伴随态的 ODE 需要及时向后求解。我们在最后一次指定为约束点，就是最后一个时间点的loss的梯度，可以得到关于任何时候的隐藏状态，

 t为tN的时候，∂f(z(t), t, θ) /∂z(t)的计算方法和其他时间点没有区别，只是把t的值换成tN而已。我们只需要把z(tN)和tN输入到f中，然后用自动微分的方法求出f对z(tN)的偏导数就可以了。

 扩展上面的方法，推广可以得到关于 θ 的梯度

 

 

 f 的雅可比行列式（指f对它的输入变量的偏导数组成的矩阵）具有以下形式

结合（35）

 

 

 

 

 算法1的目的是计算一个常微分方程初值问题的反向模式导数，也就是损失函数对参数的梯度