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欧拉公式在信号处理中的魔法：调幅信号的生成与频谱分析

“数学不是枯燥的符号，而是宇宙的诗歌。”
当我们用欧拉公式解开调幅信号的频谱密码时，仿佛看到电磁波在时空中跳动的频率之舞。这篇博客将带你亲手触摸信号处理中的数学之美。

一、当欧拉公式遇见调幅信号：一场数学与工程的联姻

在通信工程中，**调幅（AM）**技术就像一位忠实的信使，将我们的声音、音乐等低频信号驮载在高频载波上，穿越城市与山海。而这一切的数学基石，竟源于18世纪欧拉提出的一个简洁公式：

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

这个看似简单的等式，实则是连接实数世界与复数宇宙的桥梁。让我们以调幅收音机为例，解密它如何通过数学魔法将音乐送入千家万户。

二、调幅信号的数学解剖

2.1 信号调制：电磁波的"驮载"过程

假设我们要传输一个频率为$f_m=10Hz$的音频信号：
$$m(t)=\cos (2\pi f_{m}t)$$

选择载波频率$f_c=100Hz$作为"运输工具"：
$$c(t)=\cos (2\pi f_{c}t)$$

调制过程就像将货物装上卡车：
s ( t ) = [ 1 + m ( t ) ] ⋅ c ( t ) = cos ⁡ ( 2 π f c t ) + 1 2 cos ⁡ ( 2 π ( f c + f m ) t ) + 1 2 cos ⁡ ( 2 π ( f c − f m ) t ) s(t) = [1 + m(t)] \cdot c(t) = \cos(2\pi f_c t) + \frac{1}{2}\cos(2\pi(f_c+f_m)t) + \frac{1}{2}\cos(2\pi(f_c-f_m)t)