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1.目的：通过绝对位置编码的方式实现相对位置编码

• 绝对位置编码比较简单，加或乘一个有次序的数
• 实现相对位置编码，也即意味着，要蕴含位置差的信息：
  • 假设m是某个token的位置信息，n是另一个token的位置信息，要有类似$m-n$的信息，比较容易想到复数乘法会产生$m-n$，以及复数乘法和复数内积的性质。

2.理解RoPE，在我看来有几个需要注意的点：

• 最重要的是$e^{im\theta }$ 的构造，给二维的$\vec{q}$或$\vec{k}$乘这个量（也即对$\vec{q}$或 $\vec{k}$做了旋转），旋转后再对二者进行内积便会产生$m-n$的相对位置信息，也就达成了相对位置编码的目的
• 二维向量和复数平面存在一一对应的关系
• 二维扩展到$2\ast N$维：既然二维的向量旋转后，再做内积有$m-n$的相对位置信息，那就直接把$\vec{q}$和$\vec{k}$都分成2维一组，这样$\vec{q}$和$\vec{k}$做内积时，就让分好的组与组之间做内积，就自然让各位置携带相对位置信息了
• 向量旋转有两种计算方式，一种是复数乘取实部，另一种是通过构造旋转矩阵计算

3.本文相关复数概念：

3.1.复数乘法的几何意义

• 两个复数相乘，得到的复数的模长是原来两个复数的模长的乘积，得到的复数的幅角是原来两个复数的幅角的相加。

3.2.复数内积 VS. 复数乘法

• 复数内积：$⟨(a+bi),(c+di)⟩=ac+bd$（不含i）
• 复数乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc-ad)i$
• 复数内积的结果跟复数乘法的实部相差了一个正负号，复数内积等于复数乘以另一个复数的共轭后取实部：
  • $⟨(a+bi),(c+di)⟩=RE[(a+bi)(c+di{)}^{\ast }]$
  • 也即：$⟨(a+bi),(c+di)⟩=RE[(a+bi)(c-di)]$

4.REF：

[1].https://zhuanlan.zhihu.com/p/642884818 (这篇讲的很清楚了)
[2].https://zhuanlan.zhihu.com/p/669797102
[3].https://zhuanlan.zhihu.com/p/647109286
[4].https://kexue.fm/archives/8265
[5].https://zhuanlan.zhihu.com/p/641865355
[6].https://zhuanlan.zhihu.com/p/646598747
[7].学习报告：向量与复数的联系
[8].复向量的内积,想不明白?
[9].https://arxiv.org/pdf/2104.09864.pdf