当前位置：首页 > news >正文

知名网站用的技术模板网页生成

news 2025/9/17 15:14:35

知名网站用的技术,模板网页生成,做网站排名费用,网站cdn自己做论文链接：Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators | Nature Machine Intelligence 原文部分重点提取 DeepONets 会产生小的泛化误差隐式类型算子还可以描述我们对其形式没有任何数学知识的系统 De…

论文链接：Learning nonlinear operators via DeepONet based on the universal approximation theorem of operators | Nature Machine Intelligence

原文部分重点提取

DeepONets 会产生小的泛化误差

隐式类型算子还可以描述我们对其形式没有任何数学知识的系统

DeepONets 中的训练数据集大小是输入函数 u 的数量和 G(u) 的评估位置 y 的数量的乘积。

在使用结构化数据从偏微分方程学习算子时，一些工作将输入和输出函数视为图像，然后使用卷积神经网络（CNN）来学习图像到图像的映射 G（参考文献 1）。），但这种方法只能应用于特定类型的问题，其中

选择了 16 个测试用例来研究对空间 V 进行采样的重要问题。这些示例包括积分、勒让德变换、分数阶导数、非线性 ODE 和 PDE，以及随机 ODE 和 PDE。

G : u ↦ G(u) 它需要两个输入 [u(x), u(x), …, u(x)] 和 y

令 G 为采用输入函数 u 的运算符，G(u) 为相应的输出函数。对于 G(u) 域中的任意点 y，输出 G(u)(y) 是实数。因此，网络的输入由两部分组成：u 和 y，输出为 G(u)(y)

一般来说，输入没有任何特定的结构，因此我们使用 FNN 和 ResNet 作为基线模型（branch分支中）。为了将 DeepONets 与其他模型进行比较，我们还考虑将 CNN 或 RNN 作为特定问题和数据集的一些示例中的基线。

在本研究中，我们所有的训练数据集都是从数值求解器获得的；

函数 g 和 f 可以选择为不同类别的神经网络，满足函数的经典万能逼近定理，例如（堆叠/非堆叠）全连接神经网络FNN、残差神经网络resnet和卷积神经网络CNN。

我们主要考虑以下函数空间：高斯随机场（GRF）、谱表示并将输入函数表示为图像。我们注意到，一个数据点是一个三元组 (u, y, G(u)(y))，因此特定输入 u 可能出现在具有不同 y 值的多个数据点中。例如，大小为 10,000 的数据集只能从 100 个u 轨迹生成，并且每个轨迹在 100 个不同的 y 位置评估 G(u)(y)。此外，对于不同的u，y的数量和位置可能不同。在我们的数据集中，对于每个 u，我们在 G(u) 域中随机选择 P 个不同的 y 点，因此数据点的总数等于 P ×u。

案例2d:

这个案例可以发现是将定义域从一维映射到二维

初始条件或边界条件的值为零

"Zero initial/boundary conditions"

数学和物理学中常用的术语，尤其是在涉及微分方程、偏微分方程、流体动力学、电磁学等领域时。指的是在求解某些方程时，所施加的初始条件或边界条件的值为零。

1. Zero Initial Conditions（零初始条件）

定义：初始条件指定了在时间 ( t = 0 ) 时，系统或方程的状态。在零初始条件下，系统的初始状态被设定为零。
举例：假设你在求解一个振动系统（例如弹簧振子），零初始条件意味着在 ( t = 0 ) 时，位移和速度都为零，即 ( x(0) = 0 ) 和 ( v(0) = 0 )。

2. Zero Boundary Conditions（零边界条件）

定义：边界条件用于描述在空间某些特定位置（通常是系统的边界）上的解的行为。零边界条件指的是在边界上的解值为零。
举例：假设你在求解热传导问题，零边界条件意味着在边界的温度为零，类似于在求解一个固体物体的热分布时，边界上的温度为零，即 ( T(x = 0) = 0 ) 或 ( T(x = L) = 0 )，其中 ( L ) 是物体的长度。

总结：

零初始条件：意味着在时间 ( t = 0 ) 时，系统的状态（例如位移、速度、温度等）为零。
零边界条件：意味着在空间边界上的值为零，常用于描述某些物理量在边界处的行为。

这些条件在物理学、工程学和其他应用科学中通常用于简化问题，帮助数学模型更容易求解。

总结中提到deeponet-fno代码中电对流案例

更广泛地说，DeepONet 可以代表一个多尺度算子，该算子使用时空尺度上多个数量级的数据进行训练，例如，使用流体力学或其他多尺度问题中的分子、介观和连续介质体系的数据进行训练。我们还可以设想其他类型的复合 DNN，用于开发多物理场算子，例如，在电对流中，由于外加电势的连续变化，涉及阴离子和阳离子的流场和浓度场的演变。事实上，在正在进行的工作中，我们开发了 DeepONet 的扩展来模拟这种电对流多物理场问题，我们表明 DeepONet 比谱元求解器快得多。我们在高超音速方面获得了类似的加速和高精度，用于学习空气动力学以及多个物种的有限速率化学。如果泛化误差是有界的，学习这种多尺度和多物理场非线性算子将简化计算建模，并且有助于以良好的精度快速预测未见过的新参数值和新输入函数（边界/初始条件/激励）的复杂动力学。

后续：找了一下代码看还没有开发，issue中也没有提到截至目前

issue中提到可以用带有时间的2D或者3d数据，作者提到deeponet输入和输出有不同的可能方式。

url：Handling 3D data like time evolution of 2D fluid flow. · Issue #2 · lu-group/deeponet-fno · GitHub

问题:

现在，我想使用 DeepONet 解决流动问题。我的输入是维度（样本、高度、宽度、时间）或对应于不同时间步骤的图像，这些图像描述了流动的演变。具体来说，我的输入是从 t = 1 到 m 个时间步骤的速度，我想预测接下来的 n 个时间步骤的速度 [batch, :,:,:m] -> [batch,:,:, m: m+n]。

我应该如何预处理此类问题的数据？是否有使用 deepOnet 的此类流问题的代码实现？

另外，我们可以使用类似 FNO-2D-time 的 DeepOnet（更多是 RNN 类型结构）吗？

作者答案：是的，您可以使用 DeepONet。输入和输出有不同的可能方式。最简单的方法是使用时间步 t 作为输入，使用时间步 t+1 作为输出。或者您可以使用多个时间步作为输入