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前言

并查集的基本实现通常使用森林来表示不同的集合，每个集合用一棵树表示，树的每个节点有一个指向其父节点的指针。
如果一个节点是它自己的父节点，那么它就是该集合的代表（称为根节点）。

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模板

P3367 【模板】并查集 https://www.luogu.com.cn/problem/P3367


题目描述

如题，现在有一个并查集，你需要完成合并和查询操作。

输入格式

第一行包含两个整数 $N,M$ ,表示共有 $N$ 个元素和 $M$ 个操作。

接下来 $M$ 行，每行包含三个整数 $Z_i,X_i,Y_i$ 。

当 $Z_i=1$ 时，将 $X_i$ 与 $Y_i$ 所在的集合合并。

当 $Z_i=2$ 时，输出 $X_i$ 与 $Y_i$ 是否在同一集合内，是的输出
Y ；否则输出 N 。

输出格式

对于每一个 $Z_i=2$ 的操作，都有一行输出，每行包含一个大写字母，为 Y 或者 N 。

**样例输入 **

4 7
2 1 2
1 1 2
2 1 2
1 3 4
2 1 4
1 2 3
2 1 4

样例输出

N
Y
N
Y

提示

对于 $15\%$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 20$。

对于 $35\%$ 的数据，$N\le 100$，$M\le 10^3$。

对于 $50\%$ 的数据，$1\le N\le 10^4$，$1\le M\le 2\times 10^5$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 2\times 10^5$，$1\le M\le 10^6$，$1\le X_i,Y_i\le N$， Z i ∈ { 1 , 2 } Z_i \in \{ 1, 2 \} Zi​∈{1,2}。

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朴素实现

code：

# 在集合中查找元素的根节点
def find(x):if x != pre[x]:return find(pre[x])return x# 将两个集合合并为一个集合
def union(x, y, pre):x_root = find(x)y_root = find(y)pre[x_root] = y_rootn, m = map(int, input().split())
pre = [0] * (n + 1)
for i in range(n):pre[i] = i  # 初始化
for _ in range(m):op, x, y = map(int, input().split())if op == 1:union(x, y, pre)else:if find(x) == find(y):print('Y')else:print('N')

事实证明：我们需要进行时间上的优化

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路径压缩

由于在查询过程中只关心根结点是什么，所以我们可以在在集合在查找元素的同时，把集合中所有的元素都直接指向根节点，减少查找的时间

示例code

def find(x):if pre[x] != x:pre[x] = find(pre[x])  # 在回溯时进行路径压缩return pre[x]

tips：可能会破坏原本的结构

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按秩合并

之前我们在合并时，是随机合并两个集合
虽然都能得到正确的结果，但存在时间复杂度的差异
怎样降低时间复杂度呢？
通过按秩合并（启发式合并）

“秩”可以理解为树的高度或树的节点数 这两种方式
在合并两棵树时，总是把较矮的树挂到较高的树上，节点较小的树挂在节点较多的树上
这种策略有助于保持树的平衡，从而降低查找操作的时间复杂度。

怎么实现？用一个数组记录每个集合的高度或节点数

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按树高为秩

示例：

# 将两个集合合并为一个集合
def union(x, y):x_root = find(x)y_root = find(y)if x_root != y_root:# 谁高，谁就作为根节点if rank[x_root] > rank[y_root]:pre[y_root] = x_rootelif rank[x_root] < rank[y_root]:pre[x_root] = y_rootelse:pre[x_root] = y_rootrank[y_root] += 1
# 合并是把小的树直接接到根节点上，所以只有两颗树的高度相等的时候合并后高度才会增加

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按节点数为秩

示例：

# 将两个集合合并为一个集合
def union(x, y):x_root = find(x)y_root = find(y)if x_root != y_root:# 谁的节点数多，谁就作为根节点if size[x_root] > size[y_root]:pre[y_root] = x_rootsize[x_root] += size[y_root]else:pre[x_root] = y_rootsize[y_root] += size[x_root]

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题解code1（路径压缩+按节点数为秩合并）：

# 在集合中查找元素的根节点
def find(x):global preif pre[x] != x:pre[x] = find(pre[x])  # 在回溯时进行路径压缩return pre[x]# 将两个集合合并为一个集合
def union(x, y):global pre, sizex_root = find(x)y_root = find(y)if x_root != y_root:# 谁的节点数多，谁就作为根节点if size[x_root] > size[y_root]:pre[y_root] = x_rootsize[x_root] += size[y_root]else:pre[x_root] = y_rootsize[y_root] += size[x_root]n, m = map(int, input().split())
pre = list(range(n + 1))  # 初始化pre数组
size = [1] * (n + 1)  # 初始化size数组
for _ in range(m):op, x, y = map(int, input().split())if op == 1:union(x, y)else:if find(x) == find(y):print('Y')else:print('N')

路径压缩与按节点大小合并完全兼容

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题解code2（按树高为秩合并）：

# 在集合中查找元素的根节点
def find(x):global preif pre[x] != x:pre[x] = find(pre[x])  # 在回溯时进行路径压缩return pre[x]# 将两个集合合并为一个集合
def union(x, y):global pre, rankx_root = find(x)y_root = find(y)if x_root != y_root:# 谁高，谁就作为根节点if rank[x_root] > rank[y_root]:pre[y_root] = x_rootelif rank[x_root] < rank[y_root]:pre[x_root] = y_rootelse:pre[x_root] = y_rootrank[y_root] += 1
# 合并是把小的树直接接到根节点上，所以只有两颗树的高度相等的时候合并后高度才会增加n, m = map(int, input().split())
pre = list(range(n + 1))  # 初始化pre数组
rank = [1] * (n + 1)  # 初始化rank数组
for _ in range(m):op, x, y = map(int, input().split())if op == 1:union(x, y)else:if find(x) == find(y):print('Y')else:print('N')

路径压缩不完全与按树高合并兼容，因为路径压缩可以改变树的高度。

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总结

并查集（Union-Find 或 Disjoint Set Union, DSU）是一种数据结构，主要用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。

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