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证明直纹极小曲面是平面或者正螺旋面

证明：设极小直纹面$S$的参数表示为 r$(u,v)=\mathbf{a}(u)+v\mathbf{c}(u).$则

$${\mathbf{r}}_u={\mathbf{a}}^{\prime }+v{\mathbf{c}}^{\prime },{\mathbf{r}}_v=\mathbf{c},{\mathbf{r}}_u\wedge {\mathbf{r}}_v={\mathbf{a}}^{\prime }\wedge \mathbf{c}+v{\mathbf{c}}^{\prime }\wedge \mathbf{c}.$$

故

$$E=⟨{\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{a}}^{\prime }⟩+v⟨{\mathbf{a}}^{\prime },{\mathbf{c}}^{\prime }⟩+v^2⟨{\mathbf{c}}^{\prime },{\mathbf{c}}^{\prime }⟩,F={\mathbf{a}}^{\prime }\wedge \mathbf{c}+v{\mathbf{c}}^{\prime }\wedge \mathbf{c},G=⟨\mathbf{c},\mathbf{c}⟩.$$
为 取 得 $(u,v)$ 是 正 交 参 数 , 即 : $F=0$,可 以 假 设 $|\mathbf{c}(u)|=1;$ 然 后 , 经 过 参 数 变 换 $\tilde{u}=u,\tilde{v}=v+{\int }_0^u⟨{\mathbf{a}}^{\prime }(t),\mathbf{c}(t)⟩dt$,可 以 设 $⟨{\mathbf{a}}^{\prime }(u),\mathbf{c}(u)⟩=0.$

此 时 $,F=0$，且$G=1.$记$\Delta =|{\mathbf{r}}_u\wedge {\mathbf{r}}_v|.$

由

$${\mathbf{r}}_{uu}={\mathbf{a}}^{\prime \prime }+v{\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{r}}_{uv}={\mathbf{c}}^{\prime },{\mathbf{r}}_{vv}=0,$$

有

$$L=\frac{1}{\Delta }[({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})+v(({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c}))+v^2({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})],M=\frac{1}{\Delta }({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime }),N=0.$$

曲面$S$是极小的$\iff H=0\iff$$0=\Delta (LG-2MF+NE)=({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})+v(({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c}))+v^2({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})$

$\iff$

$$\{\begin{array}{c}({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})=0\\ ({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=0\\ ({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=0.\end{array}$$

由第三式，知$\mathfrak{c}(u)$在某个平面上.而由假设，$\mathfrak{c}(u)$是一条单位球面曲
线(注意 $\mathbf{c}(u)$ 不能为常向量), 故 $\mathbf{c}(u)$ 是一个单位圆.
若$\mathbf{a}(u)$为常向量，则$S$是平面. 现在假设$\mathbf{a}(u)$不为常向量，即：它是一条曲线。可以设$u$是曲线$\mathbf{a}(u)$的弧长参数，其 Frenet 标架为 { a ( u ) ; t ( u ) , n ( u ) , b ( u ) } \{\mathbf{a}(u);\mathbf{t}(u),\mathbf{n}(u),\mathbf{b}(u)\} {a(u);t(u),n(u),b(u)}, 其曲率为$\kappa (u)$,挠率为$\tau (u).$由式-(14) 中第一式，有

$0=({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c})=\kappa (\mathbf{n},\mathbf{t},\mathbf{c})=-\kappa ⟨\mathbf{b},\mathbf{c}⟩.$ $COM$

若$\kappa =0$,则$\mathbf{a}(u)$是直线.而$\mathbf{c}(u)$是一个单位圆.可以设

$$\mathbf{a}(u)=(0,0,bu).$$

由假设$\mathbf{t}\perp \mathbf{c}(u)$,故

$$\mathbf{c}(u)=(\cos u,\sin u,0).$$

从而，曲面$S$的参数表达式为

$$\mathbf{r}(u,v)=\mathbf{a}(u)+v\mathbf{c}(u)=(v\cos u,v\sin u,bu).$$

即：曲面 $S$ 为正螺旋面.

若$\kappa$不恒为0，只需考虑$\kappa \ne 0$的部分，则$⟨\mathbf{b},\mathbf{c}⟩=0.$而由假设，$⟨\mathbf{t},\mathbf{c}⟩=0.$

故$\mathbf{c}=\pm \mathbf{n}.$从而，可以设$\mathbf{c}=\mathbf{n}.$由式-(14)中第二式，有

$$0=({\mathbf{a}}^{\prime },\mathbf{c},{\mathbf{c}}^{\prime \prime })+({\mathbf{a}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=(\mathbf{t},\mathbf{n},\ddot{\mathbf{n}})+(\dot{\mathbf{t}},\dot{\mathbf{n}},\mathbf{n})=\dot{\tau }.$$

故 $\tau$ 是常数.

若 $\tau =0$, 则 $\mathbf{a}(u)$ 为平面曲线.而 $\mathbf{c}=\mathbf{n}$ 是其(主)法向量，故 $S$ 是平面，
若 $\tau \ne 0$,则由式-(14)中第三式，有

$$0=({\mathbf{c}}^{\prime \prime },{\mathbf{c}}^{\prime },\mathbf{c})=(\ddot{\mathbf{n}},\dot{\mathbf{n}},\mathbf{n})=\dot{\kappa }\tau .$$

因此$,\dot{\kappa }=0$,即：$\kappa$为常数.故 $\mathbf{a}(u)$ 是圆柱螺旋线.

可以设
$$\mathbf{a}(u)=(\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}\cos (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}\sin (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\frac{\tau }{\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}}u)$$

则

$$\mathbf{c}(u)=\mathbf{n}(u)=(-\cos (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),-\sin (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),0).$$

故

$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}(u,v)& =\mathbf{a}(u)+v\mathbf{c}(u)=((\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}-v)\cos (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\\ & (\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}-v)\sin (\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u),\frac{\tau }{\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}}u).\end{array}$$

作参数变换$\tilde{v}=\sqrt{{\kappa }^2+{\tau }^2}u,\tilde{u}=\frac{\kappa }{{\kappa }^2+{\tau }^2}-v$,则曲面$S$的参数表达式变为

$$\mathbf{r}(\tilde{u},\tilde{v})=(\tilde{u}\cos \tilde{v},\tilde{u}\sin \tilde{v},\frac{\tau }{{\kappa }^2+{\tau }^2}\tilde{v}).$$

故曲面 $S$ 是正螺旋面.