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Floyd算法

Floyd算法又称为Floyd-Warshell算法，其实Warshell算法是离散数学中求传递闭包的算法，两者的思想是一致的。Floyd算法是求解多源最短路时通常选用的算法，经过一次算法即可求出任意两点之间的最短距离，并且可以处理有负权边的情况（但无法处理负权环），算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，空间复杂度是$O(n^2)$。

import numpy as npdef floyd(adjacent_matrix, source, target):""":param adjacent_matrix: 图邻接矩阵:param source:  起点:param target:  终点:return: shortest_path"""num_node = len(adjacent_matrix)# 计算"""矩阵D记录顶点间的最小路径例如D[0][3]= 10，说明顶点0 到 3 的最短路径为10；矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点例如P[0][3]= 1 说明，0 到 3的最短路径轨迹为：0 -> 1 -> 3。"""distance = np.zeros(shape=(num_node, num_node), dtype=np.int_)path = np.zeros(shape=(num_node, num_node), dtype=np.int_)for v in range(num_node):for w in range(num_node):distance[v][w] = adjacent_matrix[v][w]path[v][w] = w# 弗洛伊德算法的核心部分for k in range(num_node):  # k为中间点for v in range(num_node):  # v 为起点for w in range(num_node):  # w为起点if distance[v][w] > (distance[v][k] + distance[k][w]):distance[v][w] = distance[v][k] + distance[k][w]path[v][w] = path[v][k]print(np.asarray(path))shortest_path = [source]k = path[source][target]while k != target:shortest_path.append(k)k = path[k][target]shortest_path.append(target)return shortest_pathif __name__ == "__main__":M = 1e6adjacent_matrix = [[0, 12, M, M, M, 16, 14],[12, 0, 10, M, M, 7, M],[M, 10, 0, 3, 5, 6, M],[M, M, 3, 0, 4, M, M],[M, M, 5, 4, 0, 2, 8],[16, 7, 6, M, 2, 0, 9],[14, M, M, M, 8, 9, 0],]shortest_path = floyd(adjacent_matrix, 0, 3)print(shortest_path)# [0, 6, 3, M, M, M],# [6, 0, 2, 5, M, M],# [3, 2, 0, 3, 4, M],# [M, 5, 3, 0, 5, 3],# [M, M, 4, 5, 0, 5],# [M, M, M, 3, 5, 0]

适应场景

Floyd-Warshall算法由于其 $O(n^3)$的时间复杂度，适用于节点数比较少且图比较稠密的情况。对于边数较少的稀疏图，使用基于边的算法（如Dijkstra或Bellman-Ford）通常会更高效。