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在概率论中， 把有关论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理称为中心极限定理称为中心极限定理。
本文介绍独立同分布序列的中心极限定理。
一 独立同分布序列的中心极限定理
定理1 设X1,X2,...Xn,...X_1, X_2, ...X_n,...X1,X2,...Xn,... 是独立同分布的随机变量序列， 且具有相同数学期望和方差，E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,...)E(X_i)=\mu, D(X_i)=\sigma^2(i=1,2, ...)E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2(i=1,2,...), 记随机变量 Yn=Y_n=Yn=∑i=1nXi−nμnσ\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}nσi=1∑nXi−nμ 的分布函数为Fn(x)F_n(x)Fn(x), 则对于任意实数 xxx,
limn→∞Fn(x)=limn→∞P{Yn⩽x}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}F_n(x) =\lim\limits_{n \rightarrow \infty}P\{Y_n \leqslant x\} =n→∞limFn(x)=n→∞limP{Yn⩽x}= limn→∞P\lim\limits_{n \rightarrow \infty}Pn→∞limP{\{{ ∑i=1n−nμnσ\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}-n\mu}{ \sqrt{n}\sigma}nσi=1∑n−nμ }\}}
=∫−∞x12πe−t22dt=Φ(x)=\int_{- \infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)=∫−∞x2π1e−2t2dt=Φ(x),
由这一定理可知以下结论：
1.
当n充分大时， 独立同分布的随机变量之和 Zn=∑i=1nXiZ_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_iZn=i=1∑nXi的分布近似于正态分布 N(nμ,nσ2)N(n\mu, n\sigma^2)N(nμ,nσ2).
中心极限定理告诉我们， 不论X1,X2,...,Xn,...X_1,X_2, ..., X_n,...X1,X2,...,Xn,...同服从什么分布， 当n充分大时， 其和ZnZ_nZn 近似服从正态分布.
2.
考虑 独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn,...X_1, X_2,..., X_n,...X1,X2,...,Xn,... 的平均值 X‾=1n∑i=1nXi\overline X = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_iX=n1i=1∑nXi, 有
它的标准化随机变量为 X‾−μσ/n\frac{\overline X - \mu}{\sigma/ \sqrt{n}}σ/nX−μ 即为上述YnY_nYn, 因此 X‾−μσ/n\frac{\overline X - \mu}{\sigma/ \sqrt{n}}σ/nX−μ 的分布函数即是上述的Fn(x)F_n(x)Fn(x), 因而有
limn→∞Fn(x)=∫−∞x12πe−t22dt=Φ(x)\lim\limits_{n \rightarrow \infty}F_n(x) =\int_{- \infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \Phi(x)n→∞limFn(x)=∫−∞x2π1e−2t2dt=Φ(x).
由此可见， 当n充分大时， 独立同分布随机变量的平均值X‾=1n∑i=1nXi\overline X = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_iX=n1i=1∑nXi 的分布近似于正态分布 NNN(μ,σ2n)(\mu, \frac{\sigma^2}{n})(μ,nσ2), 这是独立同分布中心极限定理的另一表达形式。
二 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
此定理是 定理1 的特殊情况。
定理2(棣—拉中心极限定理)
设随机变量ZnZ_nZn是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A发生的概率， 则对于任意实数 xxx
limn→∞\lim\limits_{n \rightarrow \infty}n→∞limP{\{{Zn−npnp(1−p)⩽x\frac{Z_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant xnp(1−p)Zn−np⩽x}\}}=∫−∞x12πe−t22dt=Φ(x)=\int_{- \infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \Phi(x)=∫−∞x2π1e−2t2dt=Φ(x).
由棣—拉中心极限定理，得到下列结论：
1.
在贝努利试验中， 若事件A发生的概率为p, 设ZnZ_nZn为n次独立重复试验中事件A发生的频数， 则当n充分大时， ZnZ_nZn 近似服从N(np,np(1−p))N(np, np(1-p))N(np,np(1−p)).
2.
在贝努利试验中， 若事件A发生的概率为p, Znn\frac{Z_n}{n}nZn 为n次独立重复试验中事件A 发生的频率， 则当n充分大时， Znn\frac{Z_n}{n}nZn 近似服从N(p,p(1−p)n)N(p, \frac{p(1-p)}{n})N(p,np(1−p)).
三 例题
- 设随机变量X~B（100， 0.2）, Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 为标准正态分布函数， 已知Φ(2.5)=0.9938\Phi(2.5)=0.9938Φ(2.5)=0.9938, 应用 中心极限定理， 可得 P{20⩽x⩽3020\leqslant x \leqslant 3020⩽x⩽30} ≈\approx≈ ___________。
解： X ~ B(100, 0.2), np=20, npq = 16, 则P{20 ⩽x⩽30\leqslant x \leqslant 30⩽x⩽30} = P{20−2016⩽X−2016⩽30−2016}P\{{\frac{20-20}{\sqrt{16}} \leqslant \frac{X-20}{\sqrt{16}} \leqslant \frac{30-20}{\sqrt{16}}}\}P{1620−20⩽16X−20⩽1630−20} (这一步用到定理2)
≈Φ(30−204)−Φ(20−204)=Φ(2.5)−Φ(0)=0.9938−0.5=0.4938\approx \Phi(\frac{30-20}{4}) - \Phi(\frac{20-20}{4}) = \Phi(2.5) - \Phi(0) = 0.9938-0.5 = 0.4938≈Φ(430−20)−Φ(420−20)=Φ(2.5)−Φ(0)=0.9938−0.5=0.4938.
答案为 0.4938。