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DDP算法线性化和二次近似

• 在DDP算法中，第三步是线性化系统动力学方程和二次近似代价函数。这一步是关键，它使得DDP能够递归地处理非线性最优控制问题。通过线性化和二次近似，我们将复杂的非线性问题转换为一系列简单的线性二次问题，逐步逼近最优解。
• 通过这些线性化和二次近似步骤，我们可以将原始的非线性问题简化为一系列线性二次调节问题，使得递归求解成为可能。这一步是DDP算法的核心，它使得DDP能够在非线性系统中高效地逼近最优解

系统动力学方程的线性化

对于给定的非线性系统动力学方程：

在每个时间步 k，我们对 f 进行泰勒展开，得到系统动力学方程的线性近似：

其中：

这里，A𝑘是状态 𝑥 的偏导数（雅可比矩阵），B𝑘 是控制 u 的偏导数（雅可比矩阵）。

代价函数的二次近似

对于给定的代价函数