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1. 题目

数字 $n$ 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

示例 1：

输入：$n=3$
输出：$["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]$

示例 2：

输入：$n=1$
输出：$["()"]$

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提示：

• $1\le n\le 8$

2. 思路及代码实现（Python）

2.1 暴力法

该思路先生成所有的 $2^{2n}$ 个 “（” 和 “）” 字符串构成的序列，然后检查生成的序列是否有效，一共有 $n$ 对括号，共 $2n$ 个字符，每个位置存在两种不同的选择，因此总共有 $2^{2n}$ 种序列。

为了生成所有序列，可以使用递归。长度为 $n$ 的序列就是在长度为 $n-1$ 的序列后加一个 “(” 或 “)”。为了检查序列是否有效，我们遍历这个序列，并使用一个变量 $bal$ 表示左括号的数量减去右括号的数量。如果在遍历过程中 $bal$ 的值小于零，或者结束时 $bal$ 的值不为零，那么该序列就是无效的，否则它是有效的。前者说明，遍历一段字符串时出现 “)” 大于 “(” 的数量，显然说明该子串不能成对；而后者说明整个字符串的左右括号数并不相等。

该算法的时间复杂度为：$O(2^{2n}n)$，对于 $2^{2n}$ 个序列中的每一个，对其进行有效性的验证的复杂度为 $O(n)$。而空间复杂度除了存储答案组之外，还需要存储探索答案的栈深，复杂度为 $O(n)$。

class Solution:def generateParenthesis(self, n: int):def generate(A):if len(A) == 2*n:if valid(A):ans.append("".join(A))else:A.append('(')generate(A)A.pop()A.append(')')generate(A)A.pop()def valid(A):bal = 0for c in A:if c == '(': bal += 1else: bal -= 1if bal < 0: return Falsereturn bal == 0ans = []generate([])return ans

执行用时：71 ms
消耗内存：16.54 MB

2.2 回溯法

上述方法是遍历生成所有的可能的序列，然后再进行判断，这里我们发现有可以改进的地方，就是在生成序列时，提前跟踪序列的左右括号的数据，来决定扩展序列时所选择的括号。例如，已有子序列的左括号数量不大于 $n$，则可以放置左括号，如果右括号数量小于左括号数量，可以放置一个右括号。

该算法的复杂度分析依赖于该有效序列可以回溯出 的元素个数。这证明是第 $n$ 个卡特兰数$\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ ，这是由 $\frac{4^n}{n\sqrt{n}}$ 渐近界定的。因此时间复杂度为 $O(\frac{4^n}{\sqrt{n}})$。空间复杂度为保存答案和保存栈深的消耗，为 $O(n)$。

class Solution:def generateParenthesis(self, n: int):ans = []def backtrack(S, left, right):if len(S) == 2 * n:ans.append(''.join(S))returnif left < n:S.append('(')backtrack(S, left+1, right)S.pop()if right < left:S.append(')')backtrack(S, left, right+1)S.pop()backtrack([], 0, 0)return ans

执行用时：42 ms
消耗内存：16.55 MB

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题解来源：力扣官方题解