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news 2025/9/17 11:50:48

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傅里叶展开

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+b_ksinkx$

$\left\{\begin{matrix} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnxdx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnxdx \end{matrix}\right.$

傅里叶变换

$F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

傅里叶逆变换

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(k)e^{ikx}dk$

时域信号

$g(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

弧频域信号

$G(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-i2\pi ft}dt$

线性变换

$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\rightarrow a\cdot G(f)+b\cdot H(f)$

时域平移

$g(t-a)\rightarrow e^{-i2\pi af}G(f)$

频域平移

$e^{iat}\rightarrow G(f-\frac{a}{2\pi})$

伸缩变换

$g(at)\rightarrow\frac{1}{|a|}G(\frac{f}{a})$

微分性质

$\frac{d^n}{dt^n}g(t)\rightarrow (i2\pi f)^nG(f)$

逆变换的微分性质

$t^ng(t)\rightarrow (\frac{i}{2\pi})^n\frac{d^n}{df^n}G(f)$

卷积定理

$(g*h)(t)\rightarrow G(f)H(f)$

原函数	变换结果
$e^{iat}$	$\delta(f-\frac{a}{2\pi})$
$e^{-at^2}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{a}}$
$cos(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})+\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2}$
$cos(at^2)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}cos(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$sin(at)$	$\frac{\delta(f-\frac{a}{2\pi})-\delta(f+\frac{a}{2\pi})}{2i}$
$sin(at^2)$	$-\sqrt{\frac{\pi}{a}}sin(\frac{\pi^2f^2}{a}-\frac{\pi}{4})$
$e^{-a\|t\|}(a>0)$	$\frac{2a}{a^2+4\pi^2f^2}$
$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$
$1$	$\delta(f)$
$\delta(t)$	$1$
$t^n$	$(\frac{i}{2\pi})^n\delta^{(n)}(f)$
$\frac{1}{t}$	$-i\pi\cdot sgn(f)$
$\frac{1}{t^n}$	$-i\pi\cdot \frac{(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot sgn(f)$
$sgn(t)$	$\frac{1}{i\pi f}$
$u(t)$	$\frac{1}{2}(\frac{1}{i\pi f}+\delta(f))$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a+i2\pi f}$
$rect(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot sinc(\frac{f}{a})$
$sinc(at)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot rect(\frac{f}{a})$