销售网站建设怎么样,淘宝关键词挖掘工具,wordpress首页显示文章图片,购物网站开发报告3.3.2 二维浅水方程组
二维浅水方程组是描述水波运动的基本方程之一。它主要用于描述近岸浅水区域内的波浪、潮汐等水动力学现象。这个方程组由两个偏微分方程组成#xff0c;一个是质量守恒方程#xff0c;另一个是动量守恒方程。浅水方程描述了具有自由表面、密度均匀、深…3.3.2 二维浅水方程组
二维浅水方程组是描述水波运动的基本方程之一。它主要用于描述近岸浅水区域内的波浪、潮汐等水动力学现象。这个方程组由两个偏微分方程组成一个是质量守恒方程另一个是动量守恒方程。浅水方程描述了具有自由表面、密度均匀、深度较浅的液体在重力作用下的流动过程, 用于研究潮波和河流具体形式如下: {∂η∂t−∂(ηu)∂x−∂(ηv)∂y∂u∂t−v∂u∂y−u∂u∂x−g∂η∂x∂v∂t−u∂v∂x−v∂v∂y−g∂η∂y(3-34)\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \eta}{\partial t}-\frac{\partial(\eta u)}{\partial x}-\frac{\partial(\eta v)}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial t}-v \frac{\partial u}{\partial y}-u \frac{\partial u}{\partial x}-g \frac{\partial \eta}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial t}-u \frac{\partial v}{\partial x}-v \frac{\partial v}{\partial y}-g \frac{\partial \eta}{\partial y} \end{array}\right.\tag{3-34} ⎩⎨⎧∂t∂η−∂x∂(ηu)−∂y∂(ηv)∂t∂u−v∂y∂u−u∂x∂u−g∂x∂η∂t∂v−u∂x∂v−v∂y∂v−g∂y∂η(3-34) 其中, η\etaη 代表水深, ttt 为时间, xxx 和 yyy 是水平面上的坐标, u、vu 、 vu、v 是 xxx 和 yyy 方向上的流速, ggg 为重力加速度。物理上这个方程组描述了水波在浅水区域内的传播和运动。它假设水深相对于波长很小即波长远大于水深这样就可以近似将水流速度视为垂直于水深方向的这被称为“浅水近似”。
在实际应用中二维浅水方程组被广泛用于预测海洋和河流等水动力学现象。例如可以用它来预测风浪的形成和演变或者用它来优化海岸线防护结构的设计。
需要注意的是二维浅水方程组是一种近似模型它对真实的水动力学现象只能提供近似的描述实际情况可能更加复杂。因此在具体应用中需要根据实际情况选择合适的模型并对其进行修正和调整。对方程组 (3-34) 的等号两边做 x−yx-yx−y 空间上的二维傅里叶变换, 得到偏微分方程组: {∂η^^∂t−ikxF{F−1[η^^]F−1[u~^]}−ikyF{F−1[η~^]F−1[v^]}∂u^^∂t−F{F−1[v^^]⋅F−1[ikyu^^]F−1[u⃗^]⋅F−1[ikxu^]}−igkxη^^∂v^∂t−F{F−1[u^]⋅F−1[ikxv^]F−1[v^]⋅F−1[ikyv^]}−igkyη^^(3-35)\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \hat{\hat{\eta}}}{\partial t}-\mathrm{i} k_x F\left\{F^{-1}[\hat{\hat{\eta}}] F^{-1}[\hat{\tilde{u}}]\right\}-\mathrm{i} k_y F\left\{F^{-1}[\hat{\tilde{\eta}}] F^{-1}[\hat{v}]\right\} \\ \frac{\partial \hat{\hat{u}}}{\partial t}-F\left\{F^{-1}[\hat{\hat{v}}] \cdot F^{-1}\left[\mathrm{i} k_y \hat{\hat{u}}\right]F^{-1}[\hat{\vec{u}}] \cdot F^{-1}\left[\mathrm{i} k_x \hat{u}\right]\right\}-\mathrm{i} g k_x \hat{\hat{\eta}} \\ \frac{\partial \hat{v}}{\partial t}-F\left\{F^{-1}[\hat{u}] \cdot F^{-1}\left[\mathrm{i} k_x \hat{v}\right]F^{-1}[\hat{v}] \cdot F^{-1}\left[\mathrm{i} k_y \hat{v}\right]\right\}-\mathrm{i} g k_y \hat{\hat{\eta}} \end{array}\right.\tag{3-35} ⎩⎨⎧∂t∂η^^−ikxF{F−1[η^^]F−1[u~^]}−ikyF{F−1[η~^]F−1[v^]}∂t∂u^^−F{F−1[v^^]⋅F−1[ikyu^^]F−1[u^]⋅F−1[ikxu^]}−igkxη^^∂t∂v^−F{F−1[u^]⋅F−1[ikxv^]F−1[v^]⋅F−1[ikyv^]}−igkyη^^(3-35) 取 g1g1g1, 初始条件为 η(x,y,0)0.1⋅exp(−x2/10−y2/10)0.1\eta(x, y, 0)0.1 \cdot \exp \left(-x^2 / 10-y^2 / 10\right)0.1η(x,y,0)0.1⋅exp(−x2/10−y2/10)0.1 和 u(x,y,0)v(x,y,0)0u(x, y, 0)v(x, y, 0)0u(x,y,0)v(x,y,0)0, 用傅里叶谱方法计算上述方程的代码如下:
主程序代码
clear all; close all;
L40; N64;
xL/N*[-N/2:N/2-1]; yx;
kx2*pi/L*[0:N/2-1 -N/2:-1]; kykx;
[X,Y]meshgrid(x,y);
[kX,kY]meshgrid(kx,ky);
%初始条件
e0.1*exp(-X.^2/10-Y.^2/10)0.1;
etfft2(e); utzeros(N^2,1); vtzeros(N^2,1);
euvt[et(:); ut; vt;];
%求解
t[0 5 10 25]; g1;
[t,euvtsol]ode45(shallow_water,t,euvt,[],kX,kY,N,g);
%画图
for n1:4subplot(2,2,n)mesh(x,y,real(ifft2(reshape(euvtsol(n,1:N^2),N,N))))axis([-20 20 -20 20 0.1 0.2]), title([t num2str(t(n))])xlabel x, ylabel y, zlabel \eta, view(-80,45)
end程序输出结果如图所示, 从 t0t0t0 时刻开始, 一个三维高斯形水柱在重力的作用下坍塌, 并激起了向四周传播的圆形水波。
3.3.3 二维粘性 Burgers 方程
Burgers方程是一种非线性偏微分方程它最初由荷兰数学家J. M. Burgers在20世纪30年代提出用于描述一维粘性流体中的流动行为。
Burgers方程在物理学中具有广泛的应用。它可以用于模拟一维粘性流体中的多种现象如激波、涡旋、湍流等。在流体力学中Burgers方程常用于模拟流体中的湍流现象如湍流尾流、湍流边界层等。在量子场论中Burgers方程被用于描述费米子系统中的量子涡旋。
Burgers方程还是一些数值方法和数学工具的基础如Shocks-capturing方法、Lax-Friedrichs格式等。这些方法可以有效地处理Burgers方程中出现的激波等非线性现象从而得到比较精确的数值解。
Burgers方程也是非线性动力学中一个重要的模型。它的解可能会出现奇点和激波等非线性现象这些现象为非线性偏微分方程的研究提供了新的思路和挑战。通过对Burgers方程的研究可以深入了解非线性动力学中的一些重要现象和性质。
此外Burgers方程还被应用于宏观经济学中的一些问题如经济增长、通货膨胀等。通过对Burgers方程的应用可以揭示一些经济现象的本质规律和机制。
除了上述介绍的应用和研究方向Burgers方程还有以下一些特点和性质
Burgers方程是一种具有非线性扰动传递性的方程。这意味着当一个扰动在Burgers方程中传播时它会不断地变形和扩散从而形成复杂的结构。
Burgers方程可以通过一些数学方法和技巧来求解。其中比较常用的方法包括Burgers方程的相似变换、行波解法和反演公式等。 Burgers方程的解可能会出现激波、奇点等非线性现象。这些现象具有一定的物理意义并且对于解决实际问题具有重要的作用。
Burgers方程可以被看作是Navier-Stokes方程的一维版本它描述了粘性流体中的一些基本特性和行为。因此Burgers方程在流体力学中有着重要的应用和研究价值。
Burgers方程还可以被拓展到更高维度或者更复杂的情形下。例如二维Burgers方程、Burgers-Fisher方程等。
总之Burgers方程在物理学、数学和工程学等领域具有广泛的应用和研究价值它的研究和应用也带动了非线性动力学和偏微分方程等领域的发展。
Burgers 方程有钟行孤波和扭波两种形式的行波解如图 二维粘性 Burgers 方程的形式如下: ∂u∂tv(∂2∂x2∂2∂y2)u−u(∂∂x∂∂y)u(3-36)\frac{\partial u}{\partial t}v\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) u-u\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\right) u\tag{3-36} ∂t∂uv(∂x2∂2∂y2∂2)u−u(∂x∂∂y∂)u(3-36) 其中, uuu 代表速度, x、yx 、 yx、y 为空间坐标, ttt 为时间, vvv 为粘性系数。对上式做二维傅里叶变换, 得:
∂u^^∂t−v(kx2ky2)u^^−F{F−1[u^]⋅F−1[i(kxky)u^^]}(3-37)\frac{\partial \hat{\hat{u}}}{\partial t}-v\left(k_x^2k_y^2\right) \hat{\hat{u}}-F\left\{F^{-1}[\hat{u}] \cdot F^{-1}\left[\mathrm{i}\left(k_xk_y\right) \hat{\hat{u}}\right]\right\}\tag{3-37}∂t∂u^^−v(kx2ky2)u^^−F{F−1[u^]⋅F−1[i(kxky)u^^]}(3-37) 取 v0.01v0.01v0.01, 初始条件 u(x,y,0)sech(4x24y2)u(x, y, 0)\operatorname{sech}\left(4 x^24 y^2\right)u(x,y,0)sech(4x24y2), 傅里叶谱方法的代码如下:
主程序代码
clear all; close all;
L4; N64;
xL/N*[-N/2:N/2-1]; yx;
kx2*pi/L*[0:N/2-1 -N/2:-1]; kykx;
[X,Y]meshgrid(x,y);
[kX,kY]meshgrid(kx,ky);
K2kX.^2kY.^2;
%初始条件
usech(4*X.^24*Y.^2);
utfft2(u);
%求解
v0.01; t0:0.4:1.2;
[t,utsol]ode45(burgers,t,ut(:),[],N,kX,kY,K2,v);
%画图
for n1:4subplot(2,2,n)mesh(x,y,real(ifft2(reshape(utsol(n,:),N,N))))axis([-2 2 -2 2 0 1]), xlabel x, ylabel y, zlabel uview(46,20), title([t num2str(t(n))])
end程序执行结果如图所示初始波形逐渐演变成激波这是符合实际情况的。 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-L46WfgOw-1680611827553)(https://mweb-1307664364.cos.ap-chengdu.myqcloud.com/2023/04/04/untitled12.png)] 当Burgers方程中的初始波形是单峰的、集中在某一区域内的时候它会随着时间的推移而逐渐演变成为一个激波。这个现象可以通过分析Burgers方程的解得到解释。
在初始时刻Burgers方程的初始波形会随着时间的推移而扩散并逐渐变得平缓。然而由于Burgers方程是一个非线性方程波形在演化过程中会发生非线性的相互作用这些相互作用会导致波形逐渐变得不规则并在某些区域内出现奇点。当波形的斜率超过一定阈值时这些奇点会形成激波即波形在激波前是平缓的但在激波后却是陡峭的。
激波的形成可以用物理学中的震荡现象来解释。当初始波形逐渐演化为激波时波前的部分会受到高压的压缩而波后的部分则会受到低压的拉伸这样就形成了一个压缩波和一个展开波它们相互作用最终形成了一个陡峭的激波。
总之Burgers方程中的初始波形逐渐演变为激波的现象是由于非线性相互作用导致的它在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
