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学习日记_20241117_聚类方法（高斯混合模型）

公式 $P(Z=k)={\pi }_k$

在高斯混合模型 (GMM) 中，公式 $P(Z=k)={\pi }_k$ 描述了选择某个高斯成分 $k$ 的概率，其中 $Z$ 是一个潜在变量（latent variable），表示数据点所属的成分。

详细解释

1. 潜在变量 $Z$：

   • $Z$ 是一个离散随机变量，它的取值范围为 { 1 , 2 , … , K } \{1, 2, \ldots, K\} {1,2,…,K}，其中 $K$ 是模型中高斯成分的数量。每个 $k$ 对应一个高斯分布。

2. 权重 ${\pi }_k$：

   • ${\pi }_k$ 是与成分 $k$ 相关的权重，表示在所有成分中选择成分 $k$ 的概率。它满足以下条件：
     • ${\pi }_k\ge 0$（非负性）
     • ${\sum }_{k=1}^K{\pi }_k=1$（归一化条件）

3. 模型解释：

   • 这个公式表明，在生成数据的过程中，根据权重 ${\pi }_k$，我们会选择其中一个成分 $k$。这个选择是随机的，但在长期来看，每个成分 $k$ 被选择的概率正好等于其权重 ${\pi }_k$。

生成过程

在 GMM 的生成过程中，首先选择一个成分 $ Z $，然后在选择的成分下从对应的高斯分布中生成样本 $ X $。这个过程可以概述为：

1. 从权重分布中选择成分 $k$：
   $$P(Z=k)={\pi }_k$$

2. 在选择的成分下，从该成分的高斯分布中生成数据：
   $$X|Z=k\sim \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$$

例子

假设我们有一个 GMM 模型，其中包含两个高斯成分（即 $K=2$），其权重分别为 ${\pi }_1=0.6$ 和 ${\pi }_2=0.4$。这意味着：

• 有 60% 的概率选择成分 1，生成该成分下的样本。
• 有 40% 的概率选择成分 2，生成该成分下的样本。

总结

公式 $P(Z=k)={\pi }_k$ 是高斯混合模型的核心部分，定义了数据生成过程中选择每个高斯成分的概率。通过这些成分的加权组合，GMM 能够有效地建模复杂的分布结构。

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公式 $X|Z=k\sim \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$

公式 $X|Z=k\sim \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$描述的是在给定潜在变量 $Z$ 等于某个特定值 $k$ 的情况下，随机变量 $X$ 的条件分布。这里的含义可以分解为以下几点：

1. 条件分布

• $X|Z=k$ 表示在选择了成分 $k$ 的条件下生成的数据点 $X$。
• 这意味着我们只关注在成分 $k$ 下生成的数据特性。

2. 高斯分布

• $\sim \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$ 表示 $X$ 服从均值为 ${\mu }_k$、协方差矩阵为 ${\Sigma }_k$ 的多元高斯分布（或正态分布）。
  • 均值 ${\mu }_k$：这是成分 $k$ 的中心位置，表示该成分的“典型”数据点。
  • 协方差矩阵 ${\Sigma }_k$：它描述了成分 $k$ 的数据点的分布形状和方向。协方差矩阵的对角线元素表示不同特征的方差，而非对角线元素则表示特征之间的相关性。

3. 模型的生成过程

在高斯混合模型中，生成数据的过程可以总结为以下两步：

1. 选择成分：

   • 根据权重 ${\pi }_k$ 随机选择一个成分 $k$。

2. 生成样本：

   • 一旦选择了成分 $k$，根据该成分的高斯分布生成数据点 $X$。这可以通过从高斯分布中抽样来实现。

举例说明

假设我们有两个高斯成分 $K=2$：

• 成分 1：${\mu }_1=[2,3]$，${\Sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
• 成分 2：${\mu }_2=[5,7]$，${\Sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$
  在生成数据时：

1. 以一定的概率（例如 ${\pi }_1=0.6$, ${\pi }_2=0.4$）选择成分。
2. 如果选择成分 1，生成的数据点 $X$ 将会满足：
   $$X|Z=1\sim \mathcal{N}\left(\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\right)$$
   这意味着生成的点将会在均值 $[2,3]$ 附近，并且具有单位方差，表示每个维度独立。

总结

公式 $X|Z=k\sim \mathcal{N}({\mu }_k,{\Sigma }_k)$
是高斯混合模型的核心部分，描述了在选择特定高斯成分 $k$ 的情况下数据的分布特性。通过不同成分的组合，GMM 能够灵活地捕捉复杂数据集的结构。