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数据结构-平衡树

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前置知识

• 二叉树
• 二叉树的中序遍历

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问题

维护一个数据结构，支持插入元素、删除元素、查询元素的排名、查询排名对应的元素、查询元素的前驱、查询元素的后继等。

BST（二叉搜索树）

作为一个基本无效（很容易卡掉）的数据结构，将其放在这里讲可能更为合适。。。
BST 的思想，来自于二叉树的 DFS 序。
设想一下，若一个二叉树的中序遍历正好递增，也就是说，始终有 $左儿子\le 根\le 右儿子$，那么不就可以达到 $O(\text{树高})$ 的复杂度了吗？
可能不是这样。设想一组数据，令插入的第 $i$ 个节点为 $i$，BST 便会退化为 $O(n^2)$，长这样：

思路

为了弥补 BST 的各种劣势，聪明的 OIers 发明了平衡树。
对于上面卡掉 BST 的样例，平衡树的一种画法长这样：

可以看出来，平衡树是非常平衡的。
平衡树的重要处理就是维护其平衡性。
接下来介绍一下用来维护平衡树的平衡性质的两种操作——左旋（$\text{Zag}$）和右旋（$\text{Zig}$）

• $\text{Zag}$：
  如果有一个失衡子树长这样：
  
  需要将节点 $\text{q}$ 旋转至节点 $\text{p}$，我们可以这样：
  
  注意到，其中序遍历是不变的。
• $\text{Zig}$：
  如果有一个失衡子树长这样：
  
  需要将节点 $\text{q}$ 旋转至节点 $\text{p}$，我们可以这样：
  
  注意到，其中序遍历是不变的。

由于不同的平衡树对失衡子树的处理方式是不同的，所以这里不再赘述，可以去下方的文章学习。

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数据结构参数

• 单次修改时间复杂度：$\Theta (\log n)$
• 单次查询时间复杂度：$\Theta (\log n)$
• 空间复杂度：$\Theta (n)$

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接下来是三种基本的平衡树：

• AVL
• Treap
• Splay