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news 2025/9/17 18:58:58

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一、特征值定义

$A\alpha =\lambda \alpha ,a\neq 0$

二、特征值求法

定义法；
$\left | \lambda E-A \right |=0$ ；
相似。

三、特征向量求法

定义法；
基础解系法；
$(\lambda E-A)x=0$ ；
相似。

四、特征值性质

不同特征值的特征向量线性无关
k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
$\left | A \right |=\prod \lambda _i,\sum a_{ii}=\sum \lambda _i$

五、相似的定义

若 $P^{-1}AP=B$ ，则A和B相似。

六、相似的性质（必要条件）

$r(A)=r(B)$
$\left | A \right |=\left | B \right |$
$\left | \lambda E-A \right |=\left | \lambda E-B \right |$
$\sum a_{ii}=\sum b_{ii}$

七、可对角化

7.1 充要条件

A有n个线性无关的特征向量
如果λ是k重特征值，那么λ必有k个线性无关的特征向量
$r(\lambda _i E-A)=n-n_i,\lambda _i$ 为 $n_i$ 重特征值

7.2 充分条件

A有n个不同的特征值
A是实对称矩阵

八、实对称矩阵隐含的信息

必与对角矩阵相似
可用正交矩阵对角化，且对角阵上的元素即为特征值
不同特征值的特征向量必正交
特征值必是实数，特征向量必是实向量
k重特征值必有k个线性无关的特征向量（ $r(\lambda E-A)=n-k$ ）
n阶实对称矩阵A有n个特征值的话（含重根），若r(A)<n，则有n-r(A)个零特征值
秩等于非零特征值的个数

$P_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C\Rightarrow P^{-1}AP=C,P=P_1P_2$

$A$	$kA+E$	$A+kE$	$A^{-1}$	$A^*$	$A^n$	$P^{-1}AP$
$\lambda$	$k\lambda +1$	$\lambda +k$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{\left \| A \right \|}{\lambda }$	$\lambda ^n$	$\lambda$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$P^{-1}\alpha$

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