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泊松分布与二项分布的可加性

泊松分布的可加性

例 : 设 $X,Y$ 相互独立 , $X\sim P({\lambda }_1)$ , $Y\sim P({\lambda }_2)$ , 求证 $Z=X+Y$ 服从参数为 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的泊松分布

证明 :

由题意 , $X$ 的分布律为 P { X = i } = λ 1 i i ! e − λ 1 , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ P\{X=i\}=\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1},i=0,1,2,\cdots P{X=i}=i!λ1i​​e−λ1​,i=0,1,2,⋯

$Y$ 的分布律为 P { Y = i } = λ 2 i i ! e − λ 2 , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ P\{Y=i\}=\frac{\lambda_2^i}{i!}e^{-\lambda_2},i=0,1,2,\cdots P{Y=i}=i!λ2i​​e−λ2​,i=0,1,2,⋯

$Z$ 的可能取值为 $0,1,2,\cdots$ , $Z$ 的分布律为 P { Z = k } = P { X + Y = k } = ∑ i = 0 k P { X = i } P { Y = k − i } = ∑ i = 0 k λ 1 i λ 2 k − i i ! ( k − i ) ! e − λ 1 e − λ 2 = e − ( λ 1 + λ 2 ) k ! ∑ i = 0 k k ! λ 1 i λ 2 k − i i ! ( k − i ) ! = e − ( λ 1 + λ 2 ) k ! ∑ i = 0 k C k i λ 1 i λ 2 k − i = ( λ 1 + λ 2 ) k k ! e − ( λ 1 + λ 2 ) P\{Z=k\}=P\{X+Y=k\}=\sum_{i=0}^{k}P\{X=i\}P\{Y=k-i\}=\sum_{i=0}^k\frac{\lambda_1^i \lambda_2^{k-i}}{i!(k-i)!}e^{-\lambda_1}e^{-\lambda_2}=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!}\sum_{i=0}^k\frac{k!\lambda_1^i \lambda_2^{k-i}}{i!(k-i)!}=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{k!}\sum_{i=0}^{k}C_k^i\lambda_1^i\lambda_2^{k-i}=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} P{Z=k}=P{X+Y=k}=∑i=0k​P{X=i}P{Y=k−i}=∑i=0k​i!(k−i)!λ1i​λ2k−i​​e−λ1​e−λ2​=k!e−(λ1​+λ2​)​∑i=0k​i!(k−i)!k!λ1i​λ2k−i​​=k!e−(λ1​+λ2​)​∑i=0k​Cki​λ1i​λ2k−i​=k!(λ1​+λ2​)k​e−(λ1​+λ2​)

$k=0,1,2,\cdots$

二项分布的可加性

类似地，可以证明，$X\sim B(n_1,p),Y\sim B(n_2,p)$ , $则Z=X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$