潍坊专业网站建设哪家好,宿迁网站建设哪家最好,网站建设培训学费,可以刮刮卡的网站文章目录 abstract微元法平面图形的面积极坐标上图形面积曲边扇形面积 平行截面面积为已知的立体体积旋转体的体积绕 x x x轴旋转绕 y y y轴旋转另一类型旋转体积 曲线弧长参数方程表示的曲线弧长直角坐标方程表示的曲线弧长极坐标方程表示得曲线弧长小结 abstract
微元法定积… 文章目录 abstract微元法平面图形的面积极坐标上图形面积曲边扇形面积 平行截面面积为已知的立体体积旋转体的体积绕 x x x轴旋转绕 y y y轴旋转另一类型旋转体积 曲线弧长参数方程表示的曲线弧长直角坐标方程表示的曲线弧长极坐标方程表示得曲线弧长小结 abstract
微元法定积分的应用平面图形面积立体体积曲线弧长
微元法
定积分(一重,二重,三重积分)应用的关键在于微元法设所求的量 F F F依赖于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]以及在此区间上定义的某函数 f ( x ) f(x) f(x),且满足 当 f ( x ) f(x) f(x)为常数 C C C时, F C ⋅ ( b − a ) FC\cdot{(b-a)} FC⋅(b−a)当 [ a , b ] [a,b] [a,b]分为一些小区间 Δ x \Delta{x} Δx之和时,量 F F F也被分割为相应的一些 Δ F \Delta{F} ΔF之和,即 F F F具有可加性 将 f ( x ) f(x) f(x)在小区间 [ x , x Δ x ] [x,x\Delta{x}] [x,xΔx]上视为常量,于是由微分学有,近似 Δ F ≈ f ( x ) Δ x \Delta{F}\approx{f(x)}\Delta{x} ΔF≈f(x)Δx(1),或更准确表示为: Δ F \Delta{F} ΔF f ( x ) Δ x o ( Δ x ) f(x)\Delta{x}o(\Delta{x}) f(x)Δxo(Δx), ( Δ x → 0 ) (\Delta{x}\to{0}) (Δx→0)(2)从而 d F \mathrm{d}F dF f ( x ) d x f(x)\mathrm{d}x f(x)dx(3),两边做 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的积分,即 F ∫ a b f ( x ) d x F\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x F∫abf(x)dx 式(1)或(2)称为取微元,式(3)称为** F F F的微元**微元法的步骤为:划分,近似,求和,逼近
平面图形的面积
曲线 y y 2 ( x ) yy_2(x) yy2(x)和 y y 1 ( x ) yy_1(x) yy1(x),( y 2 ( x ) ⩾ y 1 ( x ) y_2(x)\geqslant{y_1(x)} y2(x)⩾y1(x))以及 x a , x b xa,xb xa,xb围成的平面图形的面积 S ∫ a b ( y 2 ( x ) − y 1 ( x ) ) d x S\int_{a}^{b}(y_2(x)-y_1(x))\mathrm{d}x S∫ab(y2(x)−y1(x))dx曲线 x x 2 ( y ) xx_2(y) xx2(y)和 x x 1 ( y ) xx_1(y) xx1(y),( x 2 ( y ) ⩾ x 1 ( y ) x_2(y)\geqslant{x_1(y)} x2(y)⩾x1(y))以及 y c , y d yc,yd yc,yd围成的平面图形面积为 S ∫ c d ( x 2 ( y ) − x 1 ( y ) ) d y S\int_{c}^{d}(x_2(y)-x_1(y))\mathrm{d}y S∫cd(x2(y)−x1(y))dy极坐标曲线 r r ( θ ) rr(\theta) rr(θ)介于两射线 θ α \theta\alpha θα与 θ β \theta\beta θβ, ( 0 β − α ⩽ 2 π ) (0\beta-\alpha\leqslant{2\pi}) (0β−α⩽2π)之间的曲边扇形的面积为 S 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ S\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta S21∫αβr2(θ)dθ由参数方程: x x ( t ) xx(t) xx(t), y y ( t ) yy(t) yy(t), ( α ⩽ t ⩽ β ) (\alpha\leqslant{t}\leqslant\beta) (α⩽t⩽β)所围成平面图形的面积为 S ∫ α β ∣ y ( t ) x ′ ( t ) ∣ d t S\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)x(t)|\mathrm{d}t S∫αβ∣y(t)x′(t)∣dt或 S ∫ α β ∣ x ( t ) y ′ ( t ) ∣ d t S\int_{\alpha}^{\beta}|x(t)y(t)|\mathrm{d}t S∫αβ∣x(t)y′(t)∣dt 某些曲线方程的显函数形式不易表示,可考虑使用参数方程表示,并利用换元积分法的方法对参数方程确定的曲线相关图形的面积进行定积分计算例如椭圆 x a cos t xa\cos{t} xacost, y b sin t yb\sin{t} ybsint的面积,即椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}1 a2x2b2y21在第一象限的面积,是整个椭圆面积 S S S的 1 4 \frac{1}{4} 41, S 4 ∫ 0 a y d x S4\int_{0}^{a}y\mathrm{d}x S4∫0aydx 当 x x x从 0 → a 0\to{a} 0→a时,即 a cos t a\cos{t} acost从 0 → a 0\to{a} 0→a,即 cos t \cos{t} cost从而 0 → 1 0\to{1} 0→1,所以 t t t从 π 2 → 0 \frac{\pi}{2}\to{0} 2π→0可作为换元后的积分限 4 ∫ π 2 0 b sin t ⋅ ( − a ) sin t d t 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}b\sin{t}\cdot{(-a)\sin{t}}\mathrm{d}t 4∫2π0bsint⋅(−a)sintdt 4 a b ∫ 0 π 2 sin 2 t d t 4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{t}\mathrm{d}t 4ab∫02πsin2tdt 对调积分限 4 a b ( 1 2 ( t − 1 2 sin 2 t ) ) ∣ 0 π 2 4ab(\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}\sin{2t}))|_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4ab(21(t−21sin2t))∣02π π a b \pi{ab} πab
极坐标上图形面积
曲边扇形面积 曲边扇形:普通扇形(或称为圆弧扇形或圆扇形)的圆弧改为一般曲线弧后的图形 一般默认扇形指的是圆扇形 对于极坐标曲线方程 r r ( θ ) rr(\theta) rr(θ),自变量为极角 θ \theta θ,因变量为 r r r 假设 r ( θ ) r(\theta) r(θ)在区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续, r ( θ ) ⩾ 0 r(\theta)\geqslant{0} r(θ)⩾0,求两射线 θ α \theta\alpha θα与 θ β \theta\beta θβ, ( 0 β − α ⩽ 2 π ) (0\beta-\alpha\leqslant{2\pi}) (0β−α⩽2π)以及 r r ( θ ) rr(\theta) rr(θ)所围成的曲边扇形的面积 S S S 这个问题的计算公式可以通过定积分的定义推导 设区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]分为 n n n个部分区间,并构成 n n n个区间的 n 1 n1 n1个分点为 α θ 0 θ 1 ⋯ θ n β \alpha\theta_0\theta_1\cdots\theta_{n}\beta αθ0θ1⋯θnβ记 Δ θ i \Delta{\theta}_{i} Δθi θ i − θ i − 1 \theta_i-\theta_{i-1} θi−θi−1, ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n);取 λ max 1 ⩽ i ⩽ n { Δ θ i } \lambda\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta\theta_{i}} λ1⩽i⩽nmax{Δθi}在每个部分区间内,任取一点 ξ i \xi_i ξi,(或记为 θ ‾ i \overline{\theta}_{i} θi)那么以 ξ i \xi_i ξi为半径,以射线 θ θ i − 1 \theta\theta_{i-1} θθi−1和 θ θ i \theta\theta_i θθi为两个边作圆扇形 O A B OAB OAB将这些小扇形的面积相加,的和式: S 1 S_1 S1 ∑ i 1 n 1 2 [ r ( ξ i ) ] 2 Δ θ i \sum_{i1}^{n}\frac{1}{2}[r(\xi_i)]^2\Delta{\theta_{i}} ∑i1n21[r(ξi)]2Δθi ∑ i 1 n 1 2 r 2 ( ξ i ) Δ θ i \sum_{i1}^{n}\frac{1}{2}r^2(\xi_i)\Delta{\theta_{i}} ∑i1n21r2(ξi)Δθi,其正好是 f ( θ ) 1 2 [ r ( θ ) ] 2 f(\theta)\frac{1}{2}[r(\theta)]^2 f(θ)21[r(θ)]2 1 2 r 2 ( θ ) \frac{1}{2}{r^2(\theta)} 21r2(θ)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的积分和数 λ \lambda λ越小, S 1 S_1 S1就越接近 S S S,由于 f ( θ ) f(\theta) f(θ)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,从而 lim λ → 0 ∑ i 1 n 1 2 r 2 ( ξ i ) Δ θ i \lim\limits_{\lambda\to{0}}{\sum_{i1}^{n}\frac{1}{2}r^2(\xi_i)\Delta{\theta_{i}}} λ→0lim∑i1n21r2(ξi)Δθi ∫ α β f ( θ ) d θ \int_{\alpha}^{\beta}f(\theta)\mathrm{d}\theta ∫αβf(θ)dθ 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta 21∫αβr2(θ)dθ从而的公式 S 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ S\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta S21∫αβr2(θ)dθ,就是曲边扇形的面积 进一步地,若要求出曲扇环,(这里指扇环的两条圆弧改为一般曲线弧后的图形) 结合曲边扇形的描述,用极坐标描述这个图形为:两个直边重合的曲边扇形面积之差即,由射线 θ α , θ β \theta\alpha,\theta\beta θα,θβ,曲线 r r 1 ( θ ) rr_1(\theta) rr1(θ), r r 2 ( θ ) rr_2(\theta) rr2(θ), ( r 2 ( θ ) ⩽ r 1 ( θ ) ) (r_2(\theta)\leqslant r_1(\theta)) (r2(θ)⩽r1(θ))所围成的图形面积为 S 1 2 ∫ α β r 1 2 ( θ ) d θ S\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r_1^2(\theta)\mathrm{d}\theta S21∫αβr12(θ)dθ- 1 2 ∫ α β r 2 2 ( θ ) d θ \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r_2^2(\theta)\mathrm{d}\theta 21∫αβr22(θ)dθ 1 2 ∫ α β [ r 1 2 ( θ ) − r 2 2 ( θ ) ] d θ \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)]\mathrm{d}\theta 21∫αβ[r12(θ)−r22(θ)]dθ
平行截面面积为已知的立体体积
考虑夹在垂直于 x x x轴的两个(立体空间)平面 x a xa xa和 x b xb xb, ( a b ) (ab) (ab)之间的立体 V V V的体积(其体积也不妨记为 V V V)假定 [ a , b ] [a,b] [a,b]内任何一点处作垂直于 x x x轴的平面截立体V的面积为 A ( x ) A(x) A(x),且 A ( x ) A(x) A(x)是一个连续函数(为可以执行定积分计算作铺垫)推导体积 V V V的过程也是采用微分法,利用定积分的定义推导公式将 x x x轴上的 [ a , b ] [a,b] [a,b]区间划分为 n n n分,并设分点为 a x 0 x 1 ⋯ x n b ax_0x_1\cdotsx_nb ax0x1⋯xnb 第 i i i个小区间宽度为 Δ x i x i − x i − 1 \Delta{x_i}x_i-x_{i-1} Δxixi−xi−1, ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n) 并令 λ max 1 ⩽ i ⩽ n { Δ x i } \lambda\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta{x_{i}}} λ1⩽i⩽nmax{Δxi};过 x i x_i xi作垂直于 x x x轴的平面 x x i xx_i xxi, i 1 , 2 , ⋯ , n i1,2,\cdots,n i1,2,⋯,n,它们分别截立体V得到 n n n个小部分 V i V_i Vi,任取 ξ i ∈ ( x i − 1 , x i ) \xi_{i}\in{(x_{i-1},x_i)} ξi∈(xi−1,xi),即用底面积为 A ( ξ i ) A(\xi_i) A(ξi),厚度为 Δ x i \Delta{x}_i Δxi的薄片(体积为 A ( ξ i ) Δ x i A(\xi_i)\Delta{x}_{i} A(ξi)Δxi)的体积之和 ∑ i 1 n A ( ξ i ) Δ x i \sum_{i1}^{n}A(\xi_i)\Delta{x_i} ∑i1nA(ξi)Δxi估计(逼近) V V V;即 lim λ → 0 ∑ i 1 n A ( ξ i ) Δ x i \lim\limits_{\lambda\to{0}}{\sum_{i1}^{n}A(\xi_i)\Delta{x_i}} λ→0lim∑i1nA(ξi)Δxi ∫ a b A ( x ) d x \int_{a}^{b}A(x)\mathrm{d}x ∫abA(x)dx,因此 V ∫ a b A ( x ) d x V\int_{a}^{b}A(x)\mathrm{d}x V∫abA(x)dx(1)
旋转体的体积
旋转面:设有一块由连续曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x), ( f ( x ) ⩾ 0 ) (f(x)\geqslant{0}) (f(x)⩾0)以及直线 x a , x b xa,xb xa,xb, ( a b ) (ab) (ab)与 x x x轴围成的曲边梯形记为 A A A
绕 x x x轴旋转
图形 A A A绕 x x x轴旋转一周而生成的一个旋转体 V x V_{x} Vx,显然垂直于 x x x轴的面截该立体得到的是圆盘,并且圆盘体积为 x x x的函数 A ( x ) A(x) A(x) π f 2 ( x ) \pi{f^2(x)} πf2(x)(2)此时问题转换为截面积已知的立体体积,将(2)式代入(1)式,得 V x V_{x} Vx π ∫ a b f 2 ( x ) d x \pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x π∫abf2(x)dx
绕 y y y轴旋转
图形 A A A绕 y y y轴旋转一周而生成的一个旋转体 V y V_y Vy,可以考虑使用它套筒法取微元积分即,用平行于 y y y轴的圆柱面去截此旋转体,截面为周长为 2 π x 2\pi{x} 2πx,高度为 f ( x ) f(x) f(x)的圆柱侧面,面积记为 A ( x ) A(x) A(x) 2 π x f ( x ) 2\pi{x}f(x) 2πxf(x)(3)同样代入公式(1),的 V y V_y Vy 2 π ∫ a b x f ( x ) d x 2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x 2π∫abxf(x)dx
另一类型旋转体积
若构造曲边梯形的曲线为 x ϕ ( y ) x\phi(y) xϕ(y)形曲线,与直线 y c , y d yc,yd yc,yd, ( c d ) (cd) (cd)以及 y y y轴构成的曲边梯形 B B B作为旋转面绕 y y y轴旋转1周得到的立体体积应用类似于 A A A旋转面旋转的立体体积计算方法可得 V y π ∫ c d ϕ 2 ( y ) d y V_y\pi\int_{c}^{d}\phi^2(y)\mathrm{d}y Vyπ∫cdϕ2(y)dy
曲线弧长
曲线弧长同样可以用微元法来求解我们用曲线的内折线的长度来逼近被求曲线弧长设平面上的曲线 l l l以 A , B A,B A,B为端点,在 l l l上任意取 n 1 n1 n1个点: A M 0 , M 1 , ⋯ , M n B AM_0,M_1,\cdots,M_nB AM0,M1,⋯,MnB,链接 M i − 1 , M i M_{i-1},M_i Mi−1,Mi, i 1 , 2 , ⋯ , n i1,2,\cdots,n i1,2,⋯,n这些线段构成 l l l的内折线 l ′ l l′当 n n n不断增大, M i − 1 M i M_{i-1}M_i Mi−1Mi不断接近于0时,若 l ′ l l′的长度趋近于于一个极限值,则这个极限值就定义为 l l l的长度;并且称此 l l l是可求长的定理:光滑曲线弧是可求长的
参数方程表示的曲线弧长
设曲线 l l l弧由参数方程 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t), y ψ ( t ) y\psi(t) yψ(t), ( t ∈ [ α , β ] ) (t\in[\alpha,\beta]) (t∈[α,β])给出 其中 ϕ ( t ) , ψ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有连续导数, ϕ ′ ( t ) , ψ ′ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ′(t),ψ′(t)不同时为0取参数 t t t为积分变量其变化区间为 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β],相应于 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上任意小区间 [ t , t d t ] [t,t\mathrm{d}t] [t,tdt]的小弧段的长度 Δ s \Delta{s} Δs近似等于对应的弦的长度 ( Δ x ) 2 ( Δ y ) 2 \sqrt{(\Delta{x})^2(\Delta{y})^2} (Δx)2(Δy)2 ,因为 Δ x ϕ ( t d t ) − ϕ ( t ) ≈ d x \Delta{x}\phi(t\mathrm{d}t)-\phi(t)\approx{\mathrm{d}x} Δxϕ(tdt)−ϕ(t)≈dx ϕ ′ ( t ) d t \phi(t)\mathrm{d}t ϕ′(t)dt Δ y ψ ( t d t ) − ψ ( t ) ≈ d y \Delta{y}\psi(t\mathrm{d}t)-\psi(t)\approx{\mathrm{d}y} Δyψ(tdt)−ψ(t)≈dy ψ ′ ( t ) d t \psi(t)\mathrm{d}t ψ′(t)dt Δ s \Delta{s} Δs的近似值(弧微分),即弧长微元为 d s \mathrm{d}s ds ( d x ) 2 ( d y ) 2 \sqrt{(\mathrm{d}x)^{2}(\mathrm{d}y)^2} (dx)2(dy)2 ( ϕ ′ ( t ) d t ) 2 ( ψ ′ ( t ) d t ) 2 \sqrt{(\phi(t)\mathrm{d}t)^2(\psi(t)\mathrm{d}t)^2} (ϕ′(t)dt)2(ψ′(t)dt)2 ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) d t \sqrt{\phi^2(t)\psi^2(t)}\mathrm{d}t ϕ′2(t)ψ′2(t) dt(0)所求弧长为 s ∫ α β ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) d t s\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi^2(t)\psi^2(t)}\mathrm{d}t s∫αβϕ′2(t)ψ′2(t) dt(1)
直角坐标方程表示的曲线弧长
设曲线弧由直角坐标方程 y f ( x ) yf(x) yf(x), ( x ∈ [ a , b ] ) (x\in[a,b]) (x∈[a,b])给出其中 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上具有一阶连续导数,此时曲线弧的参数方程表示为(2) x x xx xx; y f ( x ) yf(x) yf(x), ( x ∈ [ a , b ] ) (x\in[a,b]) (x∈[a,b]),参数为 x x x从而问题转换为第一类问题,将方程组(2)代入(1),参数 t t t替换为 x x x;(积分变量 t t t替换为 x ) x) x),积分限替换为 [ a , b ] [a,b] [a,b],得 s ∫ a b 1 y ′ 2 d x s\int_{a}^{b}\sqrt{1y^2}\mathrm{d}x s∫ab1y′2 dx(3)
极坐标方程表示得曲线弧长
可同样转换为参数方程类型设曲线弧由极坐标 r r ( θ ) rr(\theta) rr(θ), θ ∈ [ α , β ] \theta\in[\alpha,\beta] θ∈[α,β]给出,其中 r ( θ ) r(\theta) r(θ)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有连续导数,则由直角坐标和极坐标转换公式可得该曲线弧的参数方程表示:(4) x x ( θ ) r ( θ ) cos θ xx(\theta)r(\theta)\cos{\theta} xx(θ)r(θ)cosθ, y y ( θ ) r ( θ ) sin θ yy(\theta)r(\theta)\sin\theta yy(θ)r(θ)sinθ, ( θ ∈ [ α , β ] ) (\theta\in[\alpha,\beta]) (θ∈[α,β])这就是以极角 θ \theta θ为参数的曲线弧的参数方程 于是弧长微元由公式(0),得 d s \mathrm{d}s ds x ′ 2 ( θ ) y ′ 2 ( θ ) d θ \sqrt{x^2(\theta)y^2(\theta)}\mathrm{d}\theta x′2(θ)y′2(θ) dθ [ r ′ ( θ ) cos θ − r ( θ ) sin θ ] 2 − [ r ′ ( θ ) sin θ r ( θ ) cos θ ] 2 d θ \sqrt{[r(\theta)\cos{\theta}-r(\theta)\sin\theta]^2-[r(\theta)\sin\thetar(\theta)\cos\theta]^2}\mathrm{d}\theta [r′(θ)cosθ−r(θ)sinθ]2−[r′(θ)sinθr(θ)cosθ]2 dθ r ′ 2 ( θ ) r 2 ( θ ) d θ \sqrt{r^2(\theta)r^2(\theta)}\mathrm{d}\theta r′2(θ)r2(θ) dθ(5)从而所求弧长为 s ∫ α β r ′ 2 ( θ ) r 2 ( θ ) d θ s\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)r^2(\theta)}\mathrm{d}\theta s∫αβr′2(θ)r2(θ) dθ(6)
小结
参数方程表示曲线的能力最强,上述3种情形的后两种曲线形式都可以转换为参数方程形式,从而进一步推导出曲线不同表示方式下的曲线弧长公式
