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news 2025/9/16 21:37:41

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有一种数据结构是神奇的，神秘的，它展现了位运算与数组结合的神奇魅力，太牛逼的，它就是树状数组，这种数据结构不是神人是发现不了的。

一、概序

假如我现在有个需求，就是要频繁的求数组的前 n 项和，并且存在着数组中某些数字的频繁修改，那么我们该如何实现这样的需求？当然大家可以往真实项目上靠一靠。
**① 传统方法：**根据索引修改为 O(1)，但是求前 n 项和为 O(n)。
**② 空间换时间方法：**我开一个数组 sum[]，sum[i]=a[1]+…+a[i]，那么有点意思，求 n 项和为 O(1)，但是修改却成了 O(N)，这是因为我的 Sum[i]中牵涉的数据太多了，那么问题来了，我能不能在相应的 sum[i]中只保存某些 a[i]的值呢？好吧，下面我们看张图。

从图中我们可以看到 S[]的分布变成了一颗树，有意思吧，下面我们看看 S[i]中到底存放着哪些 a[i]的值。

S[1]=a[1];
S[2]=a[1]+a[2];
S[3]=a[3];
S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
S[5]=a[5];
S[6]=a[5]+a[6];
S[7]=a[7];
S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

之所以采用这样的分布方式，是因为我们使用的是这样的一个公式：S[i]=a[i-2k+1]+…+a[i]。
其中：2k 中的 k 表示当前 S[i]在树中的层数，它的值就是 i 的二进制中末尾连续 0 的个数，2k 也就是表示 S[i]中包含了哪些 a[]，举个例子: i=610=01102 ；可以发现末尾连续的 0 有一个，即 k=1，则说明 S[6]是在树中的第二层，并且 S[6]中有 21 项，随后我们求出了起始项：
a[6-21+1]=a[5]，但是在编码中求出 k 的值还是有点麻烦的，所以我们采用更灵巧的 Lowbit 技术，即：2k=i&-i 。
则：S[6]=a[6-21+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。

二、代码

1、神奇的 Lowbit 函数

 #region 当前的sum数列的起始下标/// <summary>/// 当前的sum数列的起始下标/// </summary>/// <param name="i"></param>/// <returns></returns>public static int Lowbit(int i){return i & -i;}#endregion

2、求前 n 项和

比如上图中，如何求 Sum(6)，很显然 Sum(6)=S4+S6，那么如何寻找 S4 呢？即找到 6 以前的所有最大子树，很显然这个求和的复杂度为 logN。

 #region 求前n项和/// <summary>/// 求前n项和/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <returns></returns>public static int Sum(int x){int ans = 0;var i = x;while (i > 0){ans += sumArray[i - 1];//当前项的最大子树i -= Lowbit(i);}return ans;}#endregion

3、修改

如上图中，如果我修改了 a[5]的值，那么包含 a[5]的 S[5]，S[6]，S[8]的区间值都需要同步修改,我们看到只要沿着 S[5]一直回溯到根即可，同样它的时间复杂度也为 logN。

 public static void Modify(int x, int newValue){//拿出原数组的值var oldValue = arr[x];for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1)){//减去老值，换一个新值sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;}}

最后上总的代码:

 using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;
using System.Text;
using System.Diagnostics;
using System.Threading;
using System.IO;namespace ConsoleApplication2
{public class Program{static int[] sumArray = new int[8];static int[] arr = new int[8];public static void Main(){Init();Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr));Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray));Console.WriteLine("修改A[1]的值为3");Modify(1, 3);Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr));Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray));Console.Read();}#region 初始化两个数组/// <summary>/// 初始化两个数组/// </summary>public static void Init(){for (int i = 1; i <= 8; i++){arr[i - 1] = i;//设置其实坐标：i=1开始int start = (i - Lowbit(i));var sum = 0;while (start < i){sum += arr[start];start++;}sumArray[i - 1] = sum;}}#endregionpublic static void Modify(int x, int newValue){//拿出原数组的值var oldValue = arr[x];arr[x] = newValue;for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1)){//减去老值，换一个新值sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;}}#region 求前n项和/// <summary>/// 求前n项和/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <returns></returns>public static int Sum(int x){int ans = 0;var i = x;while (i > 0){ans += sumArray[i - 1];//当前项的最大子树i -= Lowbit(i);}return ans;}#endregion#region 当前的sum数列的起始下标/// <summary>/// 当前的sum数列的起始下标/// </summary>/// <param name="i"></param>/// <returns></returns>public static int Lowbit(int i){return i & -i;}#endregion}
}