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2. 数列极限

2.1 实数系的连续性

人类对数系认识的历史：
人类最早对数系的认识是自然数集合$\mathbb{N}$，自然数系对加法和乘法是封闭的（这里的封闭是指：若$m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\Rightarrow m+n\in \mathbb{N},mn\in \mathbb{N}$），但是对减法来说，自然数集合$n$不封闭，数系$n$不够了，人类就把数系扩充到整数集合$\mathbb{Z}$，整数集合$\mathbb{Z}$对加法，乘法，减法封闭，但是对除法不封闭，于是人类又把数集扩充到有理数集$\mathbb{Q}$，有理数集合$\mathbb{Q}$对加减乘除都是封闭的，有很长一段时间人类觉得有理数集合很完美，后来古希腊的毕达哥拉斯学派发现有理数集合对开方不封闭，毕达哥拉斯学派认为任意两条线段都是可公度的（有a,b两个线段，$a,b$表示两个线段的长度，则存在另一长度为$c$的线段使得$a=mc,b=nc(m,n\in \mathbb{N})\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{m}{n}$），但是这套理论建立在任意两个线段可公度的前提下，正方形边长为1，正方形的对角线和边长不可公度（$\frac{\sqrt{2}}{1}$不能等于$\frac{m}{n},m,n\in \mathbb{N}$），这是数学史上的第一次危机，于是我们有了一个命题。
【命题】$\sqrt{2}$不是有理数。
【证】用反证法，假设$\sqrt{2}$是有理数，即$\sqrt{2}=\frac{n}{m},m,n\in \mathbb{Z},且m,n$互质，$2=\frac{n^2}{m^2}$，即$n^2=2m^2$，由于$2m^2$是偶数（2是偶数，偶数×偶数还是偶数，偶数×奇数还是偶数，所以说明$2m^2$是偶数则$n^2$是偶数，而$n^2=n\times n$，在上述情况中，如果两个一样的整数相乘是偶数，那么只有偶数×偶数的情况，因为偶数×奇数的情况下对应的是两个不一样的数，所以$n$是偶数），所以$n$是偶数，令$n=2k,k\in \mathbb{Z}$，则$n^2=4k^2=2m^2$，则$m^2=2k^2$，所以$m$是偶数（和刚才的$n$是偶数的推理过程是一样的），由于$m,n$互质，但是$m,n$都是偶数，矛盾（偶数和偶数是不互质的，都是能约分的，至少有公因子2），所以$\sqrt{2}$不是有理数。

由此说明在有理数集合$\mathbb{Q}$中开根号不封闭，所以人类要扩充数系。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数，把无限不循环小数加到有理数集合里面去这样就使得开方也变得封闭，它可以完全布满整个数轴，不留“空隙”，我们将无限不循环小数定义为无理数，把无理数加入到有理数集合中构成实数集合 R = { x ∣ x 是有理数或无理数 } \mathbb{R}=\{x|x是有理数或无理数\} R={x∣x是有理数或无理数}，实数所对应的点布满了整个数轴，它上面没有“空隙”，我们将这个性质称之为实数的连续性。实数集合又叫实数连续统。

2.1.1 最大数与最小数

$\text{S}\subset \mathbb{R},\text{S}\ne \varnothing$，若$\text{S}$是有限集，$\text{S}$必有最大数与最小数，但若$\text{S}$是无限集，则$\text{S}$不一定有最大数与最小数。
先引入记号：$\forall$与$\exists$，$\forall$表示“对于任意的”或者“对于每一个”，$\exists$表示“存在”或“可以找到”
若$\text{S}\subset \mathbb{R},\text{S}\ne \varnothing$，若$\exists \xi \in \text{S}$，使得$\forall x\in \text{S}$，有$x\le \xi$，则称$\xi$是$\text{S}$中的最大数，记为$\xi =\text{max}\text{S}$，若$\exists \eta \in \text{S}$，使得$\forall x\in \text{S}$，有$x\ge \eta$，则称$\eta$是$\text{S}$中的最小数，记为$\eta =\text{min}\text{S}$
【例2.1.1】 A = { x ∣ x ≥ 0 } \textbf{A}=\{x|x\ge 0\} A={x∣x≥0}，$\text{min}\text{A}=0$，但是$\text{max}\text{A}$不存在。


【例2.1.2】 B = { x ∣ 0 ≤ x < 1 } \textbf{B}=\{x|0\le x < 1\} B={x∣0≤x<1},$\text{min}\text{B}=0$，但是$\text{max}\text{B}$不存在。
【证】假设$\beta \in \text{B},\beta =\text{max}\text{B}$，则$\beta \in [0,1)$，令${\beta }^{\prime }=\frac{1+\beta }{2}\in [0,1)$（取得很巧妙），则${\beta }^{\prime }\in \text{B}$，但是${\beta }^{\prime }-\beta =\frac{1+\beta }{2}-\beta =\frac{1-\beta }{2}>0$，即${\beta }^{\prime }>\beta$，与$\beta =\text{max}\text{B}$矛盾。

2.1.2 上确界与下确界

• 若$\text{S}\subset \mathbb{R},\text{S}\ne \varnothing$，若$\exists M\in \mathbb{R}$，使得$\forall x\in \text{S}$，有$x\le M$，则称$M$是$\text{S}$的一个上界（上界不唯一，比$M$大的都是上界），或称$\text{S}$有上界。
  设$\text{U}$是$\text{S}$上界的集合，则$\text{U}$没有最大数，但$\text{U}$必定有最小数（需证明，以后证明），记它为$\beta =\sup \text{S}$（supremum），称为$\text{S}$的上确界。
  $\beta :\{\begin{array}{l}\beta 是上界，即\forall x\in \text{S}，有x\le \beta \\ \beta 是最小上界，即\forall \xi >0,\exists x\in \text{S},使得x>\beta -\xi \end{array}$
  【注】任何小于$\beta$的数都不是集合$\text{S}$的上界（$\beta$是最小上界的同义句），所以集合$\text{S}$中一定存在不是上界的$x$要大于任何小于$\beta$的数$\beta -\xi$，换句话说就是任何比$\beta$小的数中存在着集合$\text{S}$的元素，但是大于等于$\beta$的数都是集合$\text{S}$的上界，这样$\beta$就成了一个“分界线”，比$\beta$小的数$\beta -\xi$中存在$\text{S}$的元素，比$\beta$大的数一定是$\text{S}$的上界，那么$\beta$子集就是上确界（自己理解的，欢迎数院大佬批评指正，下面是我画图理解的）
  

• 若$\exists m\in \text{S}$，使得$\forall x\in \text{S},x\ge m$，则称$m$是$\text{S}$的一个下界。
  设$\text{L}$是$\text{S}$的集合，则$\text{L}$没有最小数，但$\text{L}$一定有最大数，记它为$\alpha =\inf \text{S}$（infimum），称为$\text{S}$的下确界。
  $\alpha :\{\begin{array}{l}\alpha 是下界，即\forall x\in \text{S}，有x\ge \alpha \\ \alpha 是最大上界，即\forall \xi >0,\exists x\in \text{S},使得x<\alpha +\xi \end{array}$