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如今的很多研究都表明小模型也能出现涌现能力，本文的作者团队通过大量实验发现模型的涌现能力与模型大小、训练计算量无关，只与预训练loss相关。

作者团队惊奇地发现，不管任何下游任务，不管模型大小，模型出现涌现能力都不约而同地是在预训练loss降低到 2.2 以下后。

在 2.2 之前，模型的表现跟一般模型无异。在 2.2 之后，模型的性能显著上升。

数学建模

模型涌现能力与预训练loss的关系，公式化如下：
$$\{\begin{array}{ll}f(L)& \text{ if }L<\eta \\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

$f(L)$ 是个单调递减函数，$L$ 越大，其值越小。$\eta$ 是个loss阈值，比如 2.2 。

预训练loss与模型大小 $N$ 关系如下：
$$L(N)=L_{\infty }+{\left(\frac{N_0}{N}\right)}^{{\alpha }_N}$$

因此涌现能力与模型大小的关系如下：
$$\{\begin{array}{ll}f\left(L_{\infty }+{\left(\frac{N_0}{N}\right)}^{{\alpha }_N}\right)& \text{ if }N\ge N_0\cdot {\left(\eta -L_{\infty }\right)}^{-\frac{1}{{\alpha }_N}}\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

当模型大小超过$N_0\cdot {\left(\eta -L_{\infty }\right)}^{-\frac{1}{{\alpha }_N}}$，才会出现涌现能力，否则与普通模型无异。随着模型尺寸变大，预训练loss减少，则模型性能提升。

总结

本文从预训练loss角度观察了模型涌现能力是如何发生的。其结论也给业界评估模型在下游任务上的性能提供了全新的视角，即预训练loss，而不是模型参数量、数据量、训练计算量。

但本文并未从理论角度解释loss与涌现能力的关系，更多地是根据后验进行启发式分析，也未给出 2.2 的合理说明。但DL一直这么玄学，不是吗？

参考

• Understanding Emergent Abilities of Language Models from the Loss Perspective