杭州余杭做网站公司,石家庄解封最新政策,上海宣传片拍摄制作公司,热点营销案例文章目录 平方可积函数平方可积函数一、定义二、性质三、公式四、计算五、例子六、例题 平方可积函数在泛函分析一、定义二、性质三、公式四、计算五、例子六、例题 L 2 空间 L_2空间 L2空间定义性质公式计算例子例题 实变函数与罗曼积分实变函数与Riemann积分的联系实变函数… 文章目录 平方可积函数平方可积函数一、定义二、性质三、公式四、计算五、例子六、例题 平方可积函数在泛函分析一、定义二、性质三、公式四、计算五、例子六、例题 L 2 空间 L_2空间 L2空间定义性质公式计算例子例题 实变函数与罗曼积分实变函数与Riemann积分的联系实变函数与Riemann积分的定理注意事项 参考文献 平方可积函数
平方可积函数
是一个核心概念尤其在希尔伯特空间理论中占有重要地位。以下是对平方可积函数的定义、性质、公式、计算、例子和例题的详细阐述
一、定义
平方可积函数是指那些其绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数。在数学中这通常表示为对于定义在可测集E上的函数f如果满足 ∫ E ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ∞ \int_E |f(x)|^2 dx \infty ∫E∣f(x)∣2dx∞
则称f在E上是平方可积的。所有这样的函数构成的空间称为L²(E)其中E是某个具有有限测度的可测集如区间[a,b]。
二、性质 内积空间L²(E)空间是一个内积空间其内积定义为 ( f , g ) ∫ E f ( x ) g ( x ) ‾ d x (f,g) \int_E f(x)\overline{g(x)} dx (f,g)∫Ef(x)g(x)dx 这里对于复值函数 g ( x ) ‾ \overline{g(x)} g(x)表示g(x)的共轭复数对于实值函数则直接为g(x)。 完备性L²(E)空间是一个完备的内积空间即希尔伯特空间。这意味着L²(E)中的任何柯西序列都收敛到L²(E)中的某个元素。 平行四边形恒等式对于L²(E)空间中的任意两个元素f和g有 ∥ f g ∥ 2 ∥ f − g ∥ 2 2 ( ∥ f ∥ 2 ∥ g ∥ 2 ) \|fg\|^2 \|f-g\|^2 2(\|f\|^2 \|g\|^2) ∥fg∥2∥f−g∥22(∥f∥2∥g∥2) 其中||·||表示由内积导出的范数。 正交性如果两个函数f和g的内积为零即(f,g) 0则称f和g在L²(E)空间中正交。
三、公式
除了内积公式外平方可积函数的核心公式就是其定义式即函数绝对值平方的积分有限。此外由内积可以导出范数公式 ∥ f ∥ ( ∫ E ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ) 1 / 2 \|f\| \left(\int_E |f(x)|^2 dx\right)^{1/2} ∥f∥(∫E∣f(x)∣2dx)1/2
四、计算
计算平方可积函数通常涉及积分运算。例如要判断一个函数f是否在给定区间[a,b]上平方可积就需要计算积分 ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x \int_a^b |f(x)|^2 dx ∫ab∣f(x)∣2dx
如果该积分有限则f在[a,b]上是平方可积的。
五、例子
考虑定义在区间[0,1]上的函数 f ( x ) { x 1 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1 0 , 其他 f(x) \begin{cases} x^{1/2}, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text{其他} \end{cases} f(x){x1/2,0,0≤x≤1其他
可以验证该函数在[0,1]上是平方可积的因为其绝对值平方的积分为 ∫ 0 1 x d x 1 2 ∞ \int_0^1 x dx \frac{1}{2} \infty ∫01xdx21∞
六、例题
例题设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数且满足
$$ \int_0^1 |f(x)|^2 dx 14$
求函数g(x) xf(x)在[0,1]上是否平方可积。
解答首先计算g(x)的绝对值平方的积分 ∫ 0 1 ∣ g ( x ) ∣ 2 d x ∫ 0 1 x 2 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x \int_0^1 |g(x)|^2 dx \int_0^1 x^2|f(x)|^2 dx ∫01∣g(x)∣2dx∫01x2∣f(x)∣2dx
由于f(x)在[0,1]上连续且满足 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01∣f(x)∣2dx1且对于任意x∈[0,1]有 0 ≤ x 2 ≤ 1 0 \leq x^2 \leq 1 0≤x2≤1因此可以利用这个条件来估计上面的积分 ∫ 0 1 x 2 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ≤ ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 x^2|f(x)|^2 dx \leq \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01x2∣f(x)∣2dx≤∫01∣f(x)∣2dx1
由于积分有限因此g(x)在[0,1]上是平方可积的。
平方可积函数在泛函分析
一、定义
平方可积函数是指那些其绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数。在数学中这通常表示为对于定义在可测集E上的函数f如果满足 ∫ E ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ∞ \int_E |f(x)|^2 dx \infty ∫E∣f(x)∣2dx∞
则称f在E上是平方可积的。所有这样的函数构成的空间称为L²(E)其中E是某个具有有限测度的可测集如区间[a,b]。
二、性质
内积空间L²(E)空间是一个内积空间其内积定义为 ( f , g ) ∫ E f ( x ) g ( x ) ‾ d x (f,g) \int_E f(x)\overline{g(x)} dx (f,g)∫Ef(x)g(x)dx
这里对于复值函数 g ( x ) ‾ \overline{g(x)} g(x)表示g(x)的共轭复数对于实值函数则直接为g(x)。 完备性L²(E)空间是一个完备的内积空间即希尔伯特空间。这意味着L²(E)中的任何柯西序列都收敛到L²(E)中的某个元素。 平行四边形恒等式对于L²(E)空间中的任意两个元素f和g有 ∥ f g ∥ 2 ∥ f − g ∥ 2 2 ( ∥ f ∥ 2 ∥ g ∥ 2 ) \|fg\|^2 \|f-g\|^2 2(\|f\|^2 \|g\|^2) ∥fg∥2∥f−g∥22(∥f∥2∥g∥2)
其中 ∥ ∥ ⋅ ∥ ∥ \|\|·\|\| ∥∥⋅∥∥表示由内积导出的范数。
正交性如果两个函数f和g的内积为零即(f,g) 0则称f和g在L²(E)空间中正交。
三、公式
除了内积公式外平方可积函数的核心公式就是其定义式即函数绝对值平方的积分有限。此外由内积可以导出范数公式 ∥ f ∥ ( ∫ E ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ) 1 / 2 \|f\| \left(\int_E |f(x)|^2 dx\right)^{1/2} ∥f∥(∫E∣f(x)∣2dx)1/2
四、计算
计算平方可积函数通常涉及积分运算。例如要判断一个函数f是否在给定区间[a,b]上平方可积就需要计算积分 ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x \int_a^b |f(x)|^2 dx ∫ab∣f(x)∣2dx
如果该积分有限则f在[a,b]上是平方可积的。
五、例子
考虑定义在区间[0,1]上的函数 f ( x ) { x 1 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1 0 , 其他 f(x) \begin{cases} x^{1/2}, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text{其他} \end{cases} f(x){x1/2,0,0≤x≤1其他
可以验证该函数在[0,1]上是平方可积的因为其绝对值平方的积分为 ∫ 0 1 x d x 1 2 ∞ \int_0^1 x dx \frac{1}{2} \infty ∫01xdx21∞
六、例题
例题设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数且满足
$$ \int_0^1 |f(x)|^2 dx 14$
求函数g(x) xf(x)在[0,1]上是否平方可积。
解答首先计算g(x)的绝对值平方的积分 ∫ 0 1 ∣ g ( x ) ∣ 2 d x ∫ 0 1 x 2 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x \int_0^1 |g(x)|^2 dx \int_0^1 x^2|f(x)|^2 dx ∫01∣g(x)∣2dx∫01x2∣f(x)∣2dx
由于f(x)在[0,1]上连续且满足 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01∣f(x)∣2dx1且对于任意x∈[0,1]有(0 \leq x^2 \leq 1)因此可以利用这个条件来估计上面的积分 ∫ 0 1 x 2 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ≤ ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 x^2|f(x)|^2 dx \leq \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01x2∣f(x)∣2dx≤∫01∣f(x)∣2dx1
由于积分有限因此g(x)在[0,1]上是平方可积的。
以上就是对平方可积函数在泛函分析中的定义、性质、公式、计算、例子和例题的详细阐述。 L 2 空间 L_2空间 L2空间
定义
平方可积函数是指其绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数又称二次积分函数。一个等价的定义是函数本身的平方而非它的绝对值是勒贝格可积的。这意味着对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)如果满足 ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ∞ \int_a^b |f(x)|^2 dx \infty ∫ab∣f(x)∣2dx∞
则称f(x)在[a,b]上是平方可积的。平方可积函数的空间记作 L 2 ( [ a , b ] ) L^2([a,b]) L2([a,b])或简单地记作 L 2 L^2 L2。
性质
内积空间平方可积函数通过内积构成一个内积空间。对于任意两个平方可积函数f和g其内积定义为 ( f , g ) ∫ a b f ( x ) g ( x ) ‾ d x (f,g) \int_a^b f(x)\overline{g(x)} dx (f,g)∫abf(x)g(x)dx
其中对于实值函数共轭复数 g ( x ) ‾ \overline{g(x)} g(x)就是g(x)本身对于复值函数则需要取共轭。 完备性由平方可积函数构成的内积空间在由内积导出的度量下是完备的因此它是一个希尔伯特空间。这意味着该空间中的任何柯西序列都收敛到该空间中的某个元素。 正交性与垂直性与欧几里德空间相仿希尔伯特空间中也有距离和角的概念从而可以引申出正交性与垂直性的概念。
公式
平方可积函数的核心公式就是其定义式即函数绝对值平方的积分有限。此外内积公式也是研究平方可积函数性质的重要工具。
计算
计算平方可积函数通常涉及积分运算。例如要判断函数f(x)在区间[a,b]上是否平方可积就需要计算积分 ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x \int_a^b |f(x)|^2 dx ∫ab∣f(x)∣2dx
如果该积分有限则f(x)在[a,b]上是平方可积的。
例子
考虑定义在区间[0,1]上的函数 f ( x ) { x , 0 ≤ x ≤ 1 0 , 其他 f(x) \begin{cases} \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text{其他} \end{cases} f(x){x ,0,0≤x≤1其他
要判断f(x)是否在[0,1]上平方可积可以计算积分 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ∫ 0 1 x d x [ 1 2 x 2 ] 0 1 1 2 ∞ \int_0^1 |f(x)|^2 dx \int_0^1 x dx \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1 \frac{1}{2} \infty ∫01∣f(x)∣2dx∫01xdx[21x2]0121∞
由于积分有限因此f(x)在[0,1]上是平方可积的。
例题
例题设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数且满足 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01∣f(x)∣2dx1
求函数g(x) xf(x)在[0,1]上是否平方可积。
解答首先计算g(x)的绝对值平方的积分 ∫ 0 1 ∣ g ( x ) ∣ 2 d x ∫ 0 1 ∣ x f ( x ) ∣ 2 d x ∫ 0 1 x 2 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x \int_0^1 |g(x)|^2 dx \int_0^1 |xf(x)|^2 dx \int_0^1 x^2|f(x)|^2 dx ∫01∣g(x)∣2dx∫01∣xf(x)∣2dx∫01x2∣f(x)∣2dx
由于f(x)在[0,1]上连续且满足 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01∣f(x)∣2dx1我们可以利用这个条件来估计上面的积分。注意到在区间[0,1]上 0 ≤ x 2 ≤ 1 0 \leq x^2 \leq 1 0≤x2≤1因此有 ∫ 0 1 x 2 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ≤ ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ 2 d x 1 \int_0^1 x^2|f(x)|^2 dx \leq \int_0^1 |f(x)|^2 dx 1 ∫01x2∣f(x)∣2dx≤∫01∣f(x)∣2dx1
由于积分有限因此g(x)在[0,1]上是平方可积的。
以上就是对平方可积函数的定义、性质、公式、计算、例子和例题的详细介绍。
实变函数与罗曼积分
首先需要纠正一点在数学领域中并没有直接称为“罗素积分”的概念。我猜测您可能是指“Riemann积分”也称为黎曼积分因为它在数学分析中是一个非常重要的积分理论且“罗素”与“Riemann”在发音上可能有相似之处。因此以下将详细解释实变函数与Riemann积分之间的联系和定理。
实变函数与Riemann积分的联系 历史与发展 Riemann积分是经典微积分学中的积分理论它基于分割定义域、求和取极限的思想来定义积分。实变函数论作为微积分学的进一步发展不仅研究更一般化的函数类及其性质还对积分理论进行了深入的探讨和扩展其中Lebesgue积分是对Riemann积分的重要改进。 积分定义的对比 Riemann积分要求函数在积分区间上几乎处处连续或有界且只有有限个间断点。它通过分割定义域、选取样本点、求和取极限的方式来定义积分。Lebesgue积分放宽了Riemann积分的条件只要函数是可测的并且其绝对值的积分是有限的那么该函数就是Lebesgue可积的。Lebesgue积分基于测度论通过函数值域上的划分来定义积分。 可积性条件的放宽 Riemann积分对函数的可积性条件较为严格限制了可积函数的范围。Lebesgue积分则通过引入测度的概念放宽了可积性条件使得更多函数变得可积。这包括了一些在Riemann积分意义下不可积但具有物理或实际意义的函数。
实变函数与Riemann积分的定理 Riemann可积与Lebesgue可积的等价性定理 定理内容如果一个函数在闭区间上是Riemann可积的那么它在这个区间上也是Lebesgue可积的并且两种积分方式的结果相同。这个定理表明了Lebesgue积分对Riemann积分的兼容性即Lebesgue积分是Riemann积分的一种推广。它说明了在Riemann可积的条件下两种积分理论是等价的。 几乎处处连续与Riemann可积性的等价性定理 定理内容一个函数在闭区间上Riemann可积的充要条件是这个函数在闭区间上几乎处处连续即除了一个测度为零的集合外处处连续。这个定理揭示了Riemann可积性与函数连续性之间的关系。它说明了在Riemann积分的框架下可积函数必须具有某种形式的连续性即几乎处处连续。
注意事项
在实变函数论中虽然Lebesgue积分是对Riemann积分的重要改进和扩展但两者并非完全独立。相反它们之间存在紧密的联系和相互补充的关系。在实际应用中选择使用Riemann积分还是Lebesgue积分取决于具体问题的性质和需求。在某些情况下Riemann积分已经足够解决问题而在另一些情况下则需要使用更一般化的Lebesgue积分来处理更复杂的函数和积分问题。
综上所述实变函数与Riemann积分之间的联系主要体现在积分理论的扩展和改进上而两者之间的定理则揭示了这种联系的具体内容和形式。
参考文献
文心一言
