一、基本概念

1.发展背景

• 普通的二叉搜索树在极端情况下会退化成类似链表的形状，从而使查找的效率降低至O(N)。

• 在此基础上，苏联与以色列数学家Adelson-Velskii 与 苏联数学家Landis，发明出了 AVL树或者说平衡二叉搜索树。

注：第一张——Adelson-Velskii（1922-2014） ，第二张——Landis（1921——1997）

2.性质

• 左右子树的高度差的绝对值不大于1
• 每个子树都是AVL树。

说明：这样做的目的就是为了严格控制平衡，以便于提高查找效率，但是控制高度差一直为0是不可能的，至于为什么不能控制成0，假设只有两个结点必然存在1的高度差。

二、实现原理

①插入操作

1.平衡因子

英文名：balance factor

• 目的：保证左右子树的高度差的绝对值不大于1
• 大多数的实现方式：存放的是右子树与左子树的高度差

1.1平衡因子的更新

1.1.1树的高度变化

① 左边新增结点

② 右边新增结点

• 总结

1. 左边新增，根节点的平衡因子减1
2. 右边新增，根节点的平衡因子加1
3. 平衡因子从0变为1或者-1

继续分析：
 两种情况树的高度增加1，也就是平衡因子从0变为1或者-1，既然高度变化了，可能会导致上面的树不平衡。
如：

此时我们需要向上更新平衡因子，再根据右边高度变化与左边高度变化，决定根的平衡因子加1还是减1。

• 推论：由于可能会向上更新平衡因子，那么AVL树是三叉链的结构。

如图：

1.1.2树的高度不变

① 左边新增结点

② 右边新增结点

• 同理

1. 左边新增，根节点的平衡因子减1
2. 右边新增，根节点的平衡因子加1
3. 平衡因子由1或者-1变为0

继续分析，这里的根节点的所在树的高度即——左右子树高度的最大值 + 1（根节点的高度）

左右子树的高度的最大值不变，即这颗树高度不变，即不用往上继续更新且达到平衡。

2. 旋转

• 说明：旋转就是让不平衡的树再次平衡的手段。

• 条件：平衡因子为2或者-2，即高度差的绝对值为2。

• 补充：若平衡因子大于等于3，说明当前树就不是AVL树，需要检验之前的代码。

但是我们又得对情况进行分类讨论，因为不同情况让树再次平衡的旋转方式不同。

2.1左旋

• 说明：也就是右边高度高，需要旋转来降低右边的高度，进而达到平衡。

一步一步分析，先来个最简单的：

此时，旋转过后平衡因子全变为0，且当前树达到平衡。注意此时3结点的左结点为空！(细节)

再举一个例子：

此时，旋转过后平衡因子1和3的平衡因子变为0，且当前树达到平衡，此时我们是不用管其它子树的，因为子树必然是AVL树，要不然更不到根节点就停止了。

最后来一个稍微复杂的例子：

此时，旋转过后平衡因子-5和0的平衡因子变为0，且当前树达到平衡。

这是具体的图便于辅助理解，然后我们再画出所有情况的抽象图：

• 总结

1. 只能在c部分上插入结点才可能会引发根节点左单旋,也就是说parent的右边为cur且新增结点在cur的右边。
2. 旋转过后cur与parent的平衡因子变为0。

• 细节

1. b的父节点连接parent时，需要判断b部分是否为空。
2. parent的父节点连接cur时，需要保存一下parent的父节点。
3. 根据parent的父节点判断是否需要修改根节点，若为空则修改，若不为空，则将cur链接到parent的父节点，同时更新parent父节点的指向。

• 实现代码

	void RotateL(Node* parent){//画图分析：//操作的结点有cur,cur_left,ppnodeNode* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//将parent的右节点改为cur_leftparent->_right = cur_left;//改变cur_left父节点的转向//cur_left可能为空if (cur_left != nullptr){cur_left->_parent = parent;}//将parent链接在cur的左边//为了更新cur的parent需要保存parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//ppnode可能为空if (ppnode == nullptr){//需要修改根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{//改变ppnode的指向if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}

2.2右旋

说明：也就是左边高度高，需要旋转来降低右边的高度，进而达到平衡。

跟左旋的分析方式一样。

先来个简单的感受一下：

此时，旋转过后平衡因子parent和cur的平衡因子变为0，且当前树达到平衡。

再举一个例子：

最后来一个稍微复杂的例子：

画出所有情况的抽象图：

• 总结

1. 只能在a部分上插入结点才可能会引发根节点右单旋,也就是说parent与cur与高度变化的c树的根节点在同一个方向且在parent的左
2. 旋转过后cur与parent的平衡因子变为0。

---

• 细节——同左旋

1. b的父节点连接parent时，需要判断b部分是否为空。
2. parent的父节点连接cur时，需要保存一下parent的父节点。
3. 根据parent的父节点判断是否需要修改根节点，若为空则修改，若不为空，则将cur链接到parent的父节点，同时更新parent父节点的指向。

• 实现代码：

		void RotateR(Node* parent){//操作的结点Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;//第一步：将cur_right链接到parent的leftparent->_left = cur_right;//更改cur_right的父节点//注意：cur_right可能为空if (cur_right != nullptr){cur_right->_parent = parent;}//第二步：将parent链接到cur的右结点。//先保存一下parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;//ppnode为空说明需要修改根节点if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}

2.3右左双旋

• 可以简单理解为，需要进行处理的左旋。

说明：单旋无法解决问题，原因是发生了拐弯，需要用右旋讲折线变为直线，再进行左旋。

因为情况有点多我们就来个简单的，直接化抽象图，看结论比较容易理解。

先来个简单的：

先右旋之后折线变成了直线，变成了左旋的形状，再进行左旋，最后的cur与cur_left与parent的平衡因子变成了0，最终cur_left变成了根节点。

再化抽象图：

初始状态

还是一样，不过得分两种情况进行讨论：

1. 新增结点在c树上，会导致parent的平衡因子变为-1，cur的平衡因子变为0。
2. 新增结点在b树上，会导致parent的平衡因子变为0，cur的平衡因子变为1
3. 不管新增结点在谁上，cur_left的平衡因子都为0。

• 看图分析，其实不看新增结点在谁身上，两种最终的旋转的结果是一样的，那我们其实只需先不看新增结点再画图，根据最终的结果再把新增结点添上，其实会更加直观。

• 总结

1. 新增结点在c树上，会导致parent的平衡因子变为-1，cur的平衡因子变为0。
2. 新增结点在b树上，会导致parent的平衡因子变为0，cur的平衡因子变为1。
3. cur_left为新增结点，parent与cur的结点全为0。

• 实现代码：

	void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//CL——CurLeftint CL_bf = cur_left->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);//更新平衡因子if (CL_bf == 0){cur->_bf = parent->_bf = cur_left->_bf = 0;//虽然没必要，但是起到了解耦的作用。}else if (CL_bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if(CL_bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}

2.4 左右双旋

• 可以理解为，需要进行处理的右旋。

说明：单旋无法解决问题，原因是发生了拐弯，需要用左旋讲折线变为直线，再进行右旋。

分析方法跟右左双旋一样。

先来个简单的：

先左旋之后折线变成了直线，变成了右旋的形状，再进行右旋，最后的cur与cur_left与parent的平衡因子变成了0，最终cur_left变成了根节点。

再来个抽象的：

还是一样，不过得分两种情况进行讨论：

1. 新增结点在c树上，会导致cur的平衡因子变为-1，parent的平衡因子变为0。
2. 新增结点在b树上，会导致cur的平衡因子变为0，parent的平衡因子变为1
3. 不管新增结点在谁上，cur_right的平衡因子都为0。

---

• 总结

1. cur_right平衡因子为1，说明新增结点在b树上，会导致cur的平衡因子变为0，parent的平衡因子变为1。
2. cur_right的平衡因子为-1，新增结点在c树上，会导致cur的平衡因子变为-1，parent的平衡因子变为0。
3. cur_right的平衡因子为0，cur与parent的平衡因子都变为0。
4. 不管新增结点在谁上，cur_right的平衡因子都为0。

• 代码实现

		void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int CR_bf = cur_right->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if (CR_bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if(CR_bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if (CR_bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}} 

②验证

说明：

1. 根据定义验证每颗子树的高度差
2. 需要判断当前的右子树的高度差是否等于平衡因子

直接根据平衡因子进行判断，有点监守自盗的感觉，你能保证自己更新的平衡因子就是正确的么？我都不敢保证。

1.求二叉树高度

• 后序遍历

	size_t Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHeight = Height(root->_left);int RHeight = Height(root->_right);return max(LHeight, RHeight) + 1;}

2. 判断是否为AVL树

	bool _IsAVLTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int RHeight = Height(root->_right);int LHeight = Height(root->_left);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}

优化一下：

	bool IsAVLTree(){bool is_AVL = true;_IsAVLTree(_root, is_AVL);return is_AVL;}int _IsAVLTree(Node* root,bool& is_AVL){if (root == nullptr){return 0;}int RHeight = _IsAVLTree(root->_right, is_AVL);int LHeight = _IsAVLTree(root->_left, is_AVL);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){is_AVL = false;}return max(RHeight, LHeight) + 1;}

源码

#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
namespace MY_STL
{template<class Key,class Val>struct  AVLTreeNode{typedef AVLTreeNode<Key, Val> Node;AVLTreeNode(const pair<Key,Val>& key = pair<Key,Val>()):_key(key.first),_val(key.second),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}Key _key;Val _val;//三叉链的结构Node* _left;Node* _right;Node* _parent;int _bf;};template<class Key, class Val>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<Key, Val> Node;public:AVLTree(){}bool insert(const pair<Key,Val>& val){//第一步：插入操作//如果根节点为空if (_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}else{Node* cur = _root,*parent = _root;while (cur){if (cur->_key > val.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_key < val.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(val);if (parent->_key > val.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//更新新增结点的_parentcur->_parent = parent;//第二步：更新平衡因子//平衡因子：//1. 定义为右子树的高度减去左子树的高度//2. 合法范围为{-1,0,1}//3. 新增结点在左，父节点的平衡因子减1//4. 新增结点在右，父节点的平衡因子加1//5. 当父节点的平衡因子变为0——由-1变0或者1变0时，此时AVL树的高度不变//6. 当父节点的平衡因子变为1或者-1，AVL子树的高度变化，继续向上变化。//7. 当父节点的平衡因子变为2或者-2时，此时需要旋转，进行平衡//8. 当父节点为根节点时，此时需要结束循环。while (cur != _root){//更新平衡因子if (parent->_left == cur){//左减1(parent->_bf)--;}else{//右加1(parent->_bf)++;}//判断平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//对旋转进行分类讨论//if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//{//	//左单旋//	RotateL(parent);//}//else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf = -1)//{//	//右单旋//	RotateR(parent);//}//else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//{//	RotateRL(parent);//}//else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//{//	RotateLR(parent);//}if (parent->_bf == 2){//左单旋if (cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else{RotateRL(parent);}}else{//右单旋if (cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else{RotateLR(parent);}}//旋转完成，树达到平衡break;}}return true;}}//根据定义进行判断bool IsAVLTree(){bool is_AVL = true;_IsAVLTree(_root, is_AVL);return is_AVL;//return _IsAVLTree(_root);}void Print(){_InOrder(_root);cout << endl;}//根据平衡因子进行判断//bool IsAVLTree()//{//	return _IsAVLTree(_root);//}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}//bool _IsAVLTree(Node* root)//{//	if (root == nullptr)//		return true;//	if (root->_bf >= 2 || root->_bf <= -2)//	{//		return false;//	}//	else//	{//		return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);//	}//}//bool IsAVLTree()//{//	bool is_AVL = true;//	_IsAVLTree(_root, is_AVL);//	return is_AVL;//}size_t Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHeight = Height(root->_left);int RHeight = Height(root->_right);return max(LHeight, RHeight) + 1;}int _IsAVLTree(Node* root,bool& is_AVL){if (root == nullptr){return 0;}int RHeight = _IsAVLTree(root->_right, is_AVL);int LHeight = _IsAVLTree(root->_left, is_AVL);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){is_AVL = false;}return max(RHeight, LHeight) + 1;}bool _IsAVLTree(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int RHeight = Height(root->_right);int LHeight = Height(root->_left);if (abs(RHeight - LHeight) > 1 || root->_bf != RHeight - LHeight){return false;}return _IsAVLTree(root->_left) && _IsAVLTree(root->_right);}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;int CR_bf = cur_right->_bf;RotateL(cur);RotateR(parent);if (CR_bf == 0){parent->_bf = cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if(CR_bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = cur_right->_bf = 0;}else if (CR_bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = cur_right->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//CL——CurLeftint CL_bf = cur_left->_bf;RotateR(cur);RotateL(parent);if (CL_bf == 0){cur->_bf = parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if (CL_bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = cur_left->_bf = 0;}else if(CL_bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = cur_left->_bf = 0;}else{cout << __LINE__ << ":" << endl;perror("平衡因子有误");exit(-1);}}void RotateL(Node* parent){//画图分析：//操作的结点有cur,cur_left,ppnodeNode* cur = parent->_right;Node* cur_left = cur->_left;//将parent的右节点改为cur_leftparent->_right = cur_left;//改变cur_left父节点的转向//cur_left可能为空if (cur_left != nullptr){cur_left->_parent = parent;}//将parent链接在cur的左边//为了更新cur的parent需要保存parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_left = parent;parent->_parent = cur;//ppnode可能为空if (ppnode == nullptr){//需要修改根节点_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{//改变ppnode的指向if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){//操作的结点Node* cur = parent->_left;Node* cur_right = cur->_right;//第一步：将cur_right链接到parent的leftparent->_left = cur_right;//更改cur_right的父节点//注意：cur_right可能为空if (cur_right != nullptr){cur_right->_parent = parent;}//第二步：将parent链接到cur的右结点。//先保存一下parent的父节点Node* ppnode = parent->_parent;cur->_right = parent;parent->_parent = cur;//ppnode为空说明需要修改根节点if (ppnode == nullptr){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}//更新平衡因子cur->_bf = parent->_bf = 0;}Node* _root = nullptr;};
};

总结

 AVL树还有删除操作，等博主有空再补充，对于AVL树一般来说只需要弄懂一种单旋，一种双旋，再加一些细写处理，代码是不难的，难就难在了分类讨论+画图上。今天的分享就到这里了，如果感觉有所帮助，不妨点个赞鼓励一下吧！