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2.4_数理统计的基本概念

数理统计思维导图

更多详细内容见notebook

1.基本概念

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用$X$表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体$X$的$n$个相互独立且与总体同分布的随机变量$X_1,X_2\cdots ,X_n$，称为容量为$n$的简单随机样本，简称样本。

统计量：设$X_1,X_2\cdots ,X_n,$是来自总体$X$的一个样本，$g(X_1,X_2\cdots ,X_n)$）是样本的连续函数，且$g()$中不含任何未知参数，则称$g(X_1,X_2\cdots ,X_n)$为统计量。

样本均值：
$\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$
样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$

样本矩：样本$k$阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k,k=1,2,\cdots$

样本$k$阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^k,k=1,2,\cdots$

2.分布

${\chi }^2$分布：${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2\sim {\chi }^2(n)$，其中$X_1,X_2\cdots ,X_n,$相互独立，且同服从$N(0,1)$

$t$分布：$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ ，其中$X\sim N\left(0,1\right),Y\sim {\chi }^2(n),$且$X$，$Y$ 相互独立。

$F$分布：$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2)$，其中$X\sim {\chi }^2\left(n_1\right),Y\sim {\chi }^2(n_2),$且$X$，$Y$相互独立。

分位数：若$P(X\le x_{\alpha })=\alpha ,$则称$x_{\alpha }$为$X$的$\alpha$分位数

3.正态总体的常用样本分布

设$X_1,X_2\cdots ,X_n$为来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2,$则：

(1) $\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$或者$\frac{\overline{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$

(2) $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2\sim {\chi }^2(n-1)$

(3) $\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n{(X_i-\mu )}^2\sim {\chi }^2(n)$

(4) $\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

4.重要公式与结论

(1) 对于${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$，有$E({\chi }^2(n))=n,D({\chi }^2(n))=2n;$

(2) 对于$T\sim t(n)$，有$E(T)=0,D(T)=\frac{n}{n-2}(n>2)$；

(3) 对于$F\stackrel{~}{}F(m,n)$，有 $\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n)=\frac{1}{F_{1-a/2}(n,m)};$

(4) 对于任意总体$X$，有 $E(\overline{X})=E(X),E(S^2)=D(X),D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$