专门做app网站图片展示型网站模板下载

       在引入线性和时不变性的离散时间系统即LSI系统后，大多数国内的“数字信号处理”相关教科书基本都会围绕LSI系统的卷积运算、系统因果稳定性等展开很多例题，不禁让人感叹本科教学仿佛是高中的一种延续，还是那套熟悉的配方：给出概念布置例题，刷题巩固咬文嚼字，这种教学方式可能单纯从字面上能够加深对概念的记忆，而显然学习这门学科的意义不仅仅在于考试分数，更重要的是在工程上理解很多底层原理和实施细节，成功在项目中实现二次开发的目标。

      我们对LSI系统的相关例题不展开讨论，而是从“周期采样”出发引出更多有实际应用价值的采样方法和课题。

      这里也是举例说明，假设已知如下离散时间序列：x(0) = 0、x(1) = 0.866、x(2) = 0.866、x(3) = 0、x(4) = -0.866、x(5) = -0.866、x(6) = 0，其中√3 /2 = 0.866，它们表示按照相同的周期间隔采样到的时域正弦波的瞬时值，这时就会出现一个有趣的现象：不同的读者根据同样的序列能够绘制出不同的正弦波曲线，如下图1所示红色小点代表上述的离散时间序列，我们使用相同的采样速率1/6s=167ms，可以据此画出1hz和7hz两种不同正弦波频率的“待采波形”，如图2所示为相应的matlab程序。

图1 matlab绘制用167ms速率采样1hz和7hz正弦波

图2 matlab绘制以167ms速率采样1hz和7hz正弦波的程序

      简单地解释下程序中matlab用到的几个关键地方：1. t1 = 0:pi/10000:2*pi表示t1的取值为0到2*pi之间且每隔pi/10000取一个点，这里主要就是为了多取一些点把1hz和7hz的正弦波通过plot函数绘制得更加平滑；2. t2 = 0:1/6:2*pi表示t2的取值范围也是0到2*pi之间且每隔1/6取一个点，即采样周期是167ms；3. plot函数支持多个图形同时绘制在一张表里，plot(t1, y1, t1, y2, t2, y3,'ro', t2, y4,'ro')即把1hz正弦波y1、7hz正弦波y2和对y1进行167ms采样的y3、对y2进行167ms采样的y4同时描绘在一张图里，'ro'代表绘制红色圆点；4. xlim([0, 1])、ylim([-2, 2])即限制x轴和y轴横纵坐标的最大值和最小值。

       通过这个例子即可以引出“频率二义性”，下面笔者也用公式推导一遍，假设一个单位正弦波的离散时间序列是，其中m是整数：

       x(n) = sin (2π*f0*n*ts) = sin (2π*f0*n*ts+2π*m)= sin (2π*(f0+m/nts)*nts);

      设m = k*n，代入其中得x(n) = sin(2π*(f0+k/ts) *nts);

      又因为fs = 1/ts，所以得x(n) = sin(2π*(f0+k*fs) *nts)，这就说明当以每秒fs个采样点数进行周期采样时，如果k是任意一个整数，则频率为f0的正弦波和频率为f0+k*fs的正弦波的采样值没有任何区别，客观上反应了实际项目中存储在嵌入式芯片的数值序列，假设没有其他额外信息，就不能无二义性地表示有且仅有一个的正弦波。

       再把公式代入到上面的例子验证，若以1/6=167ms的采样频率，即每隔167ms就采样确定一个采样值，公式中的“待采波形”频率f0 = 7hz，采样周期频率fs = 6hz，k = -1，即有f0+k*fs = 7-6 = 1hz。那么现实的问题在于当采样值序列的振幅都用采样点来表示时，工程中也就无法确定实际“待采波形”究竟是1hz还是7hz的正弦波。如果工程当中按照1hz测试能量，而实际我们知道输入中没有1hz的能量，完全都是7hz的能量，那么这样计算也就会导致错误。

      上面的推导很好地说明了“频率二义性”，很多国内外相关“数字信号处理”文章都把“频率二义性”称为“假频”，上面例子中的离散时间序列：x(0) = 0、x(1) = 0.866、x(2) = 0.866、x(3) = 0、x(4) = -0.866、x(5) = -0.866、x(6) = 0的采样值到底代表哪一种频率的正弦波，显然是无数种可能，就像问两个整数相加为10，这两个数是多少，答案也是有无数种数据对，当然正是由于“周期采样”中“假频”才引出了“低通采样”和“带通采样”、数字滤波器等有趣的课题，这些放下后续的博客展开。