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概念

割边（Bridge 或 Cut Edge）

定义：

• 在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通（即任意两点之间不能相互到达），则称该边为割边。割边也被称为桥，因为它像桥梁一样连接着图的两部分，一旦移除，这两部分就被隔断了。

特性：

• 割边只存在于无向连通图中。
• 删除割边会导致图的连通分量数量增加。
• 割边是图中的一个“薄弱环节”，对于图的连通性有重要影响。

边双连通分量（Edge Biconnected Component）

• 定义：
  • 一个无向图的边双连通分量是一个极大连通子图，删除任意一条边后，图仍然连通。
  • 类似于点双连通分量，边双连通分量中的任意两个节点之间都有两条不相交的边（即，如果删除一条边，仍然可以保持连通）。
• 性质：
  • 边双连通分量的每个分量都是连通的。
  • 边双连通分量可用于分析图中冗余的边以及提高图的可靠性。

割点（Articulation Point 或 Cut Vertex）

定义：

• 在一个无向连通图中，如果删除了某个顶点后，图不再连通（即任意两点之间不能相互到达），则称该顶点为割点。割点也被称为关节点，因为它像关节一样连接着图的不同部分，一旦移除，这些部分就被分开了。

特性：

• 割点同样只存在于无向连通图中。
• 删除割点会导致图的连通分量数量增加或减少（具体取决于割点的位置和图的结构）。
• 割点是图中的一个重要节点，对于维护图的连通性至关重要。

点双连通分量（Vertex Biconnected Component）

• 定义：

  • 一个无向图的点双连通分量是一个极大连通子图，删除任意一个节点后，图仍然连通。
  • 换句话说，点双连通分量中的任意两个节点之间都有两条不相交的路径（即，如果删除一个节点，仍然可以保持连通）。

• 性质：

  • 点双连通分量的每个分量都是连通的。
  • 点双连通分量可用来检测图中的割点（即删除后会增加连通分量的节点）。

割点与割边的关系

• 存在割点时必有割边：如果一个节点是割点，那么至少存在一条通过该节点的割边。删除割点会导致图分裂为多个部分，每个部分之间至少存在一条割边。

• 割边连接的节点可能是割点：割边的两个端点节点至少有一个可能是割点。特别是在边的两个端点是不同的双连通分量时，这两个节点通常是割点。

• 独立的关系：虽然割点和割边紧密相关，但它们也可以独立存在。一个图可以有割点而没有割边，或者有割边而没有割点。例如，星型图的中心节点是割点，但星型图的每条边都是割边。

Tarjan算法

算法思想

1. DFS 访问顺序： 每个节点都有一个 dfn 值，表示节点在 DFS 中被访问的时间戳（第几个被访问）。同时，还有一个 low 值，表示节点能通过回边或子节点到达的最早访问的节点的时间戳。
2. 割点判定：
   • 对于根节点，如果它有两个或两个以上的子树，则它是割点。
   • 对于非根节点，如果某个子节点的 low 值不小于该节点的 dfn 值，则该节点是割点。
3. 割边判定： 如果某个节点 u 和它的子节点 v 之间的边满足 low[v] > dfn[u]，则边 (u, v) 是割边。

算法步骤

1. 初始化 dfn 和 low 数组，初始值为 -1，表示未被访问。初始化一个时间戳变量 time 为 0。
2. 使用 DFS 遍历图，对于每个未被访问的节点调用 DFS 函数。
3. 在 DFS 函数中：
   • 设置当前节点的 dfn 和 low 值为当前时间戳，并将时间戳加 1。
   • 对于每个邻接节点，如果该邻接节点未被访问，递归调用 DFS 函数，更新当前节点的 low 值。
   • 如果邻接节点已被访问且不是父节点，更新当前节点的 low 值为邻接节点的 dfn 值。
   • 在返回时，根据 low 值判断是否是割点或割边。
4. 记录所有割点和割边。

算法模板

// 求解割点的函数
vector<int> findCutPoints(const vector<vector<int>> &graph) {int n = graph.size();vector<int> cutPoints; // 存储割点vector<int> dfn(n, -1), low(n), parent(n, -1); // 初始化 dfn, low, parent 数组vector<bool> visited(n, false); // 记录节点是否已被访问int time = 0; // 时间戳// DFS 函数function<void(int)> dfs = [&](int u) {visited[u] = true; // 标记节点 u 为已访问dfn[u] = low[u] = time++; // 设置 dfn 和 low 值int childCount = 0; // 子节点数量bool isCutPoint = false; // 是否为割点// 遍历邻接节点for (int v : graph[u]) {if (!visited[v]) { // 如果 v 未被访问parent[v] = u; // 设置 v 的父节点为 udfs(v); // 递归调用 DFSchildCount++; // 增加子节点数量// 更新 low[u]low[u] = min(low[u], low[v]);// 判断是否为割点if (parent[u] == -1 && childCount > 1) { // 根节点且有两个以上子树isCutPoint = true;}if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u]) { // 非根节点且满足条件isCutPoint = true;}} else if (v != parent[u]) { // 如果 v 已被访问且不是父节点low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新 low[u]}}// 如果是割点，加入结果if (isCutPoint) {cutPoints.push_back(u);}};// 遍历每个节点，进行 DFSfor (int i = 0; i < n; ++i) {if (!visited[i]) {dfs(i);}}return cutPoints; // 返回割点列表
}// 求解割边的函数
vector<pair<int, int>> findBridges(const vector<vector<int>> &graph) {int n = graph.size();vector<pair<int, int>> bridges; // 存储割边vector<int> dfn(n, -1), low(n), parent(n, -1); // 初始化 dfn, low, parent 数组vector<bool> visited(n, false); // 记录节点是否已被访问int time = 0; // 时间戳// DFS 函数function<void(int)> dfs = [&](int u) {visited[u] = true; // 标记节点 u 为已访问dfn[u] = low[u] = time++; // 设置 dfn 和 low 值// 遍历邻接节点for (int v : graph[u]) {if (!visited[v]) { // 如果 v 未被访问parent[v] = u; // 设置 v 的父节点为 udfs(v); // 递归调用 DFS// 更新 low[u]low[u] = min(low[u], low[v]);// 判断是否为割边if (low[v] > dfn[u]) {bridges.push_back({u, v}); // 记录割边}} else if (v != parent[u]) { // 如果 v 已被访问且不是父节点low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新 low[u]}}};// 遍历每个节点，进行 DFSfor (int i = 0; i < n; ++i) {if (!visited[i]) {dfs(i);}}return bridges; // 返回割边列表
}

例题

P3388 【模板】割点（割顶）
给出一个 n 个点，m 条边的无向图，求图的割点。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> findCutPoints(const vector<vector<int>> &graph);
signed main() {int n,m;cin>>n>>m;vector<vector<int>> G(n+1);while(m--){int u,v;cin>>u>>v;G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);}vector<int> CutPoints=findCutPoints(G);cout<<CutPoints.size()<<endl;sort(CutPoints.begin(),CutPoints.end());for(int p:CutPoints)cout<<p<<' ';return 0;
}

P1656 炸铁路
将军uim需要选择一条铁路进行炸毁，以使得B国的物流系统瘫痪，导致至少存在两个城市无法通过铁路相互到达。要选择的铁路被称为“关键铁路”。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<pair<int, int>> findBridges(const vector<vector<int>> &graph);
signed main() {int n,m;cin>>n>>m;vector<vector<int>> G(n+1);while(m--){int u,v;cin>>u>>v;G[u].push_back(v);G[v].push_back(u);}vector<pair<int, int>> Bridges=findBridges(G);for(auto&[x,y]:Bridges)if(x>y)swap(x,y);sort(Bridges.begin(),Bridges.end());for(auto[x,y]:Bridges)cout<<x<<' '<<y<<endl;return 0;
}