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目录

 

第五章    相似矩阵及二次型

&2）方阵的特征值与特征向量

&3）相似矩阵

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第五章    相似矩阵及二次型

&2）方阵的特征值与特征向量

定义6:设A是n阶矩阵，如果数𝛌和n维非零列向量x使关系式

Ax=𝛌x（1）

成立，那么，这样的数𝛌称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值𝛌的特征向量

（1）式也可写为

(A-𝛌E)x=0

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

｜A-𝛌E｜=0

 

特征值的性质：

设n阶矩阵A=a[I][j]的特征值为𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[n]

（i）𝛌[1]+𝛌[2]+…+𝛌[n]=a[1][1]+a[2][2]+…+a[n][n]

（ii）𝛌[1]𝛌[2]…𝛌[n]=|A|

 

定理2    设𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[m]是方阵A的m个特征值，p[1],p[2],..,p[m]依次是与之对应的特征向量，如果𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[m]各不相等，则p[1],p[2],..,p[m]线性无关

 

推论    设𝛌[1]，𝛌[2]是方阵A的两个不同特征值，𝜉[1],𝜉[2],...,𝜉[s]和𝜂[1],𝜂[2],…,𝜂[t]分别是对应于𝛌[1]和𝛌[2]的线性无关的特征向量，𝜉[1],𝜉[2],...,𝜉[s],𝜂[1],𝜂[2],…,𝜂[t]线性无关

 

&3）相似矩阵

定义7:设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使

P^-1AP=B

则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，对A进行运算P^-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

 

定理3    若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B特征值也相同

推论：若n阶矩阵A与对角阵

 

相似，则𝛌[1]𝛌[2]…𝛌[n]即是A的n个特征值

 

定理4    n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

推论    如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似（如果特征值相等，也可能A与对角阵相似，看这个相等的特征值对应的特征向量，如果一共有n个特征向量，A与对角阵相似（特征向量就是基础解系））

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