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一、多项式环的定义

 多项式环是抽象代数中一种重要的代数结构，基于一个环 R（通常是交换环）构造出关于一个或多个未知元（如 x,y,z）的 “多项式” 集合，并在其上定义加法和乘法运算，使其形成一个 新的环。

 设 R 是一个环（通常是交换环，可能带有单位元 1），x 是一个形式上的未知元（变量）。R[x] 是 R 上 关于 x 的 所有多项式构成的集合。一个多项式 $f(x)\in R[x]$ 的形式为：
$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$$其中，$a_0,a_1,a_2,...,a_n\in R$，n 是非负整数 （可以是有限的，也可以是无限的，但通常是有限多项式），其中：

• $a_i$ 称为 i 次项的系数
• $x^i$ 成为 i 次项
• 如果最高次项的系数 $a_n\ne 0$，则 n 称为 f(x) 的次数（degree），记作 $degf(x)=n$。

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二、多项式环的性质

1. 多项式加法

 两个多项式按对应次数的系数相加，例如：
$$(a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)+(b_0+b_{1}x+...+b_n{x}^n)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+...+(a_n+b_n)x^n$$

2. 多项式乘法

 两个多项式按多项式乘法规则相乘，例如：
$$(a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n)\cdot (b_0+b_{1}x+...+b_m{x}^m)=c_0+c_{1}x+...+c_{n+m}{x}^{n+m}$$其中，$c_k={\sum }_{i,j}^{i+j=k}{a}_i{b}_j$。

3. 满足的运算规律

 R[x] 继承了 R 的交换性（如果 R 是交换环），并满足结合律和分配律。

4. 次数

 多项式 f(x) 的次数 degf(x) 是 f(x) 中最高非零项的指数。零多项式（所有系数为 0）的次数通常定义为 −∞ 或未定义（视上下文而定），以避免矛盾。

5. 单位元

 如果 R 带有 单位元 1，则 R[x] 的 加法单位元 是 零多项式 0（所有系数为 0），乘法单位元 是常数多项式 1（0 次项的系数为 1，其他系数为 0）。

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三、剩余多项式环（商多项式环）

 多项式剩余换的表示为：
Z [ x ] / ( ϕ ( x ) ) = { f ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 f i x i ∣ f i ∈ Z } Z[x]/(\phi(x))=\{f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}f_ix^i\ |\ f_i \in Z\} Z[x]/(ϕ(x))={f(x)=i=0∑n−1​fi​xi ∣ fi​∈Z}其中 Z[x] 表示整数多项式环。$\varphi (x)$ 一般只取 $x^n+1$。
 实际上就是对一个多项式进行求模，例如，当取 $n=4$ 即 $\varphi (x)=x^4+1$ 时：
$$\begin{gathered} f(x)mod\varphi (x) \\ =x^5+x^3+1mod(x^4+1) \\ =x(x^4+1)+x^3-x+1mod(x^4+1) \\ =x^3-x+1 \end{gathered}$$

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四、有限多项式环

 有限多项式环，实际上就是剩余多项式环再对系数取模，表示为：
$$R_q^n=Z_q[x]/(x^n+1)$$其中包含的元素个数为 $q^n$。

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五、多项式环的性质与特性

1. 子环与理想

 R[x] 中的子环包括 常数多项式子环（即 R 本身）。
 理想（如主理想）在多项式环中有重要作用，例如 (x) 是 R[x] 中的一个理想，包含所有 x 的倍数多项式。

2. 不可约性和素性

 在域 F 上的多项式环 F[x] 中，多项式可以分解为不可约多项式的乘积，这类似于整数的质因数分解。

3. 有限生成性

 如果 R 是诺特环（Noetherian ring），则 R[x] 也是诺特环，这在代数几何中有重要应用。