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素数的定义：

        素数，又称为质数，指的是“大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数”。换句话说，素数是只有两个正约数（1和本身）的自然数。素数在数论中有着重要的地位，且素数的个数是无限的。例如，2、3、5、7、11、13等都是素数。判断一个数是否为素数的方法有多种，包括试除法、埃筛法等。

暴力法：

素数判定，是检验一个给定的整数是否为素数的测试。
判断 n 是否为素数时，最简单的方式就是暴力法：遍历的所有大于 1 且小于 n 的整数，判断 n 是否可以被这些数整除，如果不存在可以整除的数，则为素数；否则为合数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//暴力法bool isPrime(int n) {  if (n <= 1) return false;  for (int i = 2; i <= n-1; i++) {  if (n % i == 0) {  return false;  }  }  return true;  
} int main() {  int n;  cout << "Enter a number: ";  cin >> n;  if (isPrime(n))  std::cout << n << " is a prime number." << std::endl;  else  std::cout << n << " is not a prime number." << std::endl;  return 0;  
}

暴力法的优化：

        暴力法效率极低，如果n为一万，则核心代码要跑n-2次，其实我们只需要判断2~√n个数，因为一个数如果可以因数分解（不是质数），那么分解得到的两个数一定是一个小于等于√n，一个大于等于√n，一个合数一定由两个自然数相乘，一个大于等于平方根一个小于等于平方根，并且成对存在，所以只判断前根号个。这时我们需要使用sqrt函数来求根号。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//暴力法的优化 
bool isPrime(int n) {  if (n <= 1) return false;  for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {  if (n % i == 0) {  return false;  }  }  return true;  
} int main() {  int n;  cout << "Enter a number: ";  cin >> n;  if (isPrime(n))  std::cout << n << " is a prime number." << std::endl;  else  std::cout << n << " is not a prime number." << std::endl;  return 0;  
}

埃式筛选：

        埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）是一种简单且古老的用来找出一定范围内所有素数的算法。其基本思想是从2开始，将每个素数的各个倍数，标记为合数（非素数），直到标记到所给定的范围为止。

具体的步骤如下

1. 创建一个布尔数组 notPrime[0..n+1]，并初始化为 true。这个数组用来表示对应索引的数是否为素数（true 表示可能是素数，false 表示不是素数或还未检测）。通常 notPrime[0] 和 notPrime[1] 会被设为 false，因为0和1不是素数。

2. 从 p = 2 开始，即最小的素数，一直到 sqrt(n)（n为要筛的范围）。

3. 如果 notPrime[p] 为 true，则 p 是一个素数。

4. 接下来，标记 p 的所有倍数（从 p*p 开始，一直到 n）为非素数。即设置 notPrime[p*i] 为 false，其中 i 从 p 开始递增。

5. 重复步骤3和4，直到 p 超出 sqrt(n)。

6. 最后，数组中剩余标记为 true 的索引对应的数就是素数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//埃式筛法
bool sieveOfEratosthenes(int n,vector<bool>& notPrime) {  for (int p = 2; p * p <= n; p++) {  //将素数的倍数全部标记为false if (notPrime[p] == true) {  for (int i = p * p; i <= n; i += p)  notPrime[i] = false;  }  }  return notPrime[n];
}  
int main() {  int n;  cout << "Enter a number: ";  cin >> n; vector<bool> notPrime(n + 1, true);notPrime[0] = notPrime[1] = false;  if(sieveOfEratosthenes(n,notPrime)) cout << n << " is a prime number." << std::endl;  else  cout << n << " is not a prime number." << std::endl;return 0;  
}

欧拉筛选：

具体的步骤如下        

        埃式筛选任然有一些可以改进的地方，比如说当筛选到2时，会将4,、6、8、10、12等2的倍数标记为false。然而当筛选到3时，会将6、9、12、15等3的倍数标记为fasle，这其中6和12等既是2的倍数又是3的倍数的一些数，会被重复标记。

        欧拉筛选素数法是一种更加高效的素数筛选算法，它的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数都标记成合数，但与传统的埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）不同，欧拉筛选保证了每个合数只被其最小质因子筛选一次，从而实现了线性的时间复杂度。

下面是欧拉筛选素数法的详细实现步骤：

1. 初始化：创建一个布尔数组 isPrime[0..n]，并全部初始化为 true。这个数组用于表示从0到n的每个数是否为素数。通常，我们会忽略0和1，因为它们不是素数。

2. 筛选过程：

   • 从 p = 2 开始，这是第一个素数。
   • 对于每个 p，遍历所有 i（从 p 的平方开始，直到 n），并将 isPrime[i*p] 设置为 false，因为 i*p 显然不是素数（除非 i 是1，但这在循环开始条件中已经被排除了）。
   • 在遍历 i 的过程中，如果发现 isPrime[i] 已经为 false，则跳出内层循环。这是因为如果 i 不是素数，那么 i*p 已经被一个比 p 更小的素数标记过了，无需再次标记。
   • 继续增加 p，直到所有小于等于 n 的数都被检查。

3. 收集素数：最后，遍历 isPrime 数组，所有标记为 true 的位置对应的数就是素数。

        这个算法的关键在于，它确保了每个合数只被其最小的质因子筛选一次。这是通过在内层循环中检查 isPrime[i] 并在发现其为 false 时跳出循环来实现的。这样，每个合数只会在其最小质因子第一次出现时被标记，从而避免了重复标记，提高了效率。

        欧拉筛选素数法的时间复杂度是线性的，即 O(n)，这使得它在处理大规模数据时比传统的埃拉托斯特尼筛法更加高效。

        需要注意的是，虽然欧拉筛选素数法在某些情况下比埃拉托斯特尼筛法更优，但它并不是在所有情况下都是最佳选择。具体使用哪种算法取决于问题的具体要求和数据的规模。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> primes; 
void linearSieve(int n) {  vector<bool> isPrime(n + 1, true);  for (int i = 2; i <= n; ++i) {  if (isPrime[i]) {  primes.push_back(i);  }  for (size_t j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j) {  isPrime[i * primes[j]] = false;  if (i % primes[j] == 0) {  break;  }  }  }  }  int main() {  int n = 100; // 可以根据需要修改这个值  cout << "Prime numbers up to " << n << " are: ";  linearSieve(n);  for (int prime : primes) {  cout << prime << " ";  }  return 0;  
}

对于小范围的素数判断，试除法通常足够高效；对于需要生成大量素数的情况，埃筛法更为合适；